Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24926 / 42198
↖ ↑ ↗
← S 45.912944°
W 43.077392°		 ← 424.96 m → S 45.912944°
W 43.071899°		 →
↑
425.01 m
↓
↑
425.01 m
↓
S 45.916766°
W 43.077392°		 ← 424.93 m →
180 604 m²		 S 45.916766°
W 43.071899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380348205566406 y=0.643898010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380348205566406 × 216)
    floor (0.380348205566406 × 65536)
    floor (24926.5)     		tx = 24926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643898010253906 × 216)
    floor (0.643898010253906 × 65536)
    floor (42198.5)     		ty = 42198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24926 / 42198 ti = "16/24926/42198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24926/42198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24926 ÷ 216
    24926 ÷ 65536     		x = 0.380340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42198 ÷ 216
    42198 ÷ 65536     		y = 0.643890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.23931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75184233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.28778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.904089926834259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75184233} λ = -0.75184233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904089926834259))-π/2
    2×atan(0.404910215395405)-π/2
    2×0.384732141253003-π/2
    0.769464282506006-1.57079632675     		φ = -0.80133204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75184233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.077392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80133204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.912944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24926 KachelY 42198 -0.75184233 -0.80133204 -43.077392 -45.912944
    Oben rechts KachelX + 1 24927 KachelY 42198 -0.75174646 -0.80133204 -43.071899 -45.912944
    Unten links KachelX 24926 KachelY + 1 42199 -0.75184233 -0.80139875 -43.077392 -45.916766
    Unten rechts KachelX + 1 24927 KachelY + 1 42199 -0.75174646 -0.80139875 -43.071899 -45.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80133204--0.80139875) × R
    6.67100000000254e-05 × 6371000     		dl = 425.009410000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80133204--0.80139875) × R
    6.67100000000254e-05 × 6371000     		dr = 425.009410000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75184233--0.75174646) × cos(-0.80133204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695750544528508 × 6371000     		do = 424.955923568844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75184233--0.75174646) × cos(-0.80139875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695702626288441 × 6371000     		du = 424.926655693851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80133204)-sin(-0.80139875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695750544528508-0.695702626288441)×R²
    abs(-0.75174646--0.75184233)×4.79182400666689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79182400666689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79182400666689e-05×40589641000000     		ar = 180604.046858175m²