Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24926 / 25185
↖ ↑ ↗
← S 69.041072°
E 93.845215°		 ← 436.96 m → S 69.041072°
E 93.856201°		 →
↑
436.92 m
↓
↑
436.92 m
↓
S 69.045001°
E 93.845215°		 ← 436.88 m →
190 899 m²		 S 69.045001°
E 93.856201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760696411132812 y=0.768600463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760696411132812 × 215)
    floor (0.760696411132812 × 32768)
    floor (24926.5)     		tx = 24926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768600463867188 × 215)
    floor (0.768600463867188 × 32768)
    floor (25185.5)     		ty = 25185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24926 / 25185 ti = "15/24926/25185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24926/25185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24926 ÷ 215
    24926 ÷ 32768     		x = 0.76068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25185 ÷ 215
    25185 ÷ 32768     		y = 0.768585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76068115234375 × 2 - 1) × π
    0.5213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63790799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.53717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68757061422446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63790799} λ = 1.63790799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68757061422446))-π/2
    2×atan(0.184968338050393)-π/2
    2×0.182901151882155-π/2
    0.365802303764311-1.57079632675     		φ = -1.20499402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63790799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.845215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20499402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.041072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24926 KachelY 25185 1.63790799 -1.20499402 93.845215 -69.041072
    Oben rechts KachelX + 1 24927 KachelY 25185 1.63809973 -1.20499402 93.856201 -69.041072
    Unten links KachelX 24926 KachelY + 1 25186 1.63790799 -1.20506260 93.845215 -69.045001
    Unten rechts KachelX + 1 24927 KachelY + 1 25186 1.63809973 -1.20506260 93.856201 -69.045001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20499402--1.20506260) × R
    6.85799999999848e-05 × 6371000     		dl = 436.923179999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20499402--1.20506260) × R
    6.85799999999848e-05 × 6371000     		dr = 436.923179999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63790799-1.63809973) × cos(-1.20499402) × R
    0.000191739999999996 × 0.35769863335392 × 6371000     		do = 436.955901196567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63790799-1.63809973) × cos(-1.20506260) × R
    0.000191739999999996 × 0.357634589966014 × 6371000     		du = 436.877667360403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20499402)-sin(-1.20506260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35769863335392-0.357634589966014)×R²
    abs(1.63809973-1.63790799)×6.40433879058322e-05×R²
    0.000191739999999996×6.40433879058322e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.40433879058322e-05×40589641000000     		ar = 190899.070857232m²