Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24926 / 25178
↖ ↑ ↗
← S 69.013546°
E 93.845215°		 ← 437.50 m → S 69.013546°
E 93.856201°		 →
↑
437.43 m
↓
↑
437.43 m
↓
S 69.017480°
E 93.845215°		 ← 437.43 m →
191 361 m²		 S 69.017480°
E 93.856201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760696411132812 y=0.768386840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760696411132812 × 215)
    floor (0.760696411132812 × 32768)
    floor (24926.5)     		tx = 24926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768386840820312 × 215)
    floor (0.768386840820312 × 32768)
    floor (25178.5)     		ty = 25178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24926 / 25178 ti = "15/24926/25178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24926/25178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24926 ÷ 215
    24926 ÷ 32768     		x = 0.76068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25178 ÷ 215
    25178 ÷ 32768     		y = 0.76837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76068115234375 × 2 - 1) × π
    0.5213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63790799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.5367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6862283810351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63790799} λ = 1.63790799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6862283810351))-π/2
    2×atan(0.185216775385825)-π/2
    2×0.183141359869918-π/2
    0.366282719739836-1.57079632675     		φ = -1.20451361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63790799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.845215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20451361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.013546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24926 KachelY 25178 1.63790799 -1.20451361 93.845215 -69.013546
    Oben rechts KachelX + 1 24927 KachelY 25178 1.63809973 -1.20451361 93.856201 -69.013546
    Unten links KachelX 24926 KachelY + 1 25179 1.63790799 -1.20458227 93.845215 -69.017480
    Unten rechts KachelX + 1 24927 KachelY + 1 25179 1.63809973 -1.20458227 93.856201 -69.017480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20451361--1.20458227) × R
    6.86599999999427e-05 × 6371000     		dl = 437.432859999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20451361--1.20458227) × R
    6.86599999999427e-05 × 6371000     		dr = 437.432859999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63790799-1.63809973) × cos(-1.20451361) × R
    0.000191739999999996 × 0.358147216729857 × 6371000     		do = 437.503879676262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63790799-1.63809973) × cos(-1.20458227) × R
    0.000191739999999996 × 0.358083110438034 × 6371000     		du = 437.425568998212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20451361)-sin(-1.20458227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358147216729857-0.358083110438034)×R²
    abs(1.63809973-1.63790799)×6.41062918226298e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41062918226298e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41062918226298e-05×40589641000000     		ar = 191361.445590393m²