Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24924 / 29149
↖ ↑ ↗
← N 19.492486°
W 43.088379°		 ← 575.78 m → N 19.492486°
W 43.082886°		 →
↑
575.81 m
↓
↑
575.81 m
↓
N 19.487308°
W 43.088379°		 ← 575.80 m →
331 546 m²		 N 19.487308°
W 43.082886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380317687988281 y=0.444786071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380317687988281 × 216)
    floor (0.380317687988281 × 65536)
    floor (24924.5)     		tx = 24924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444786071777344 × 216)
    floor (0.444786071777344 × 65536)
    floor (29149.5)     		ty = 29149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24924 / 29149 ti = "16/24924/29149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24924/29149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24924 ÷ 216
    24924 ÷ 65536     		x = 0.38031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29149 ÷ 216
    29149 ÷ 65536     		y = 0.444778442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.2393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75203408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444778442382812 × 2 - 1) × π
    0.110443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.346967279449966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75203408} λ = -0.75203408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346967279449966))-π/2
    2×atan(1.41477043254635)-π/2
    2×0.955502192798047-π/2
    1.91100438559609-1.57079632675     		φ = 0.34020806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75203408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.088379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34020806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.492486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24924 KachelY 29149 -0.75203408 0.34020806 -43.088379 19.492486
    Oben rechts KachelX + 1 24925 KachelY 29149 -0.75193821 0.34020806 -43.082886 19.492486
    Unten links KachelX 24924 KachelY + 1 29150 -0.75203408 0.34011768 -43.088379 19.487308
    Unten rechts KachelX + 1 24925 KachelY + 1 29150 -0.75193821 0.34011768 -43.082886 19.487308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34020806-0.34011768) × R
    9.0380000000001e-05 × 6371000     		dl = 575.810980000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34020806-0.34011768) × R
    9.0380000000001e-05 × 6371000     		dr = 575.810980000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75203408--0.75193821) × cos(0.34020806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94268525979902 × 6371000     		do = 575.780627644501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75203408--0.75193821) × cos(0.34011768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942715414239526 × 6371000     		du = 575.799045607974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34020806)-sin(0.34011768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94268525979902-0.942715414239526)×R²
    abs(-0.75193821--0.75203408)×3.0154440506025e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0154440506025e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0154440506025e-05×40589641000000     		ar = 331546.11032743m²