Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24923 / 25215
↖ ↑ ↗
← S 69.158650°
E 93.812256°		 ← 434.64 m → S 69.158650°
E 93.823242°		 →
↑
434.57 m
↓
↑
434.57 m
↓
S 69.162558°
E 93.812256°		 ← 434.56 m →
188 861 m²		 S 69.162558°
E 93.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760604858398438 y=0.769515991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760604858398438 × 215)
    floor (0.760604858398438 × 32768)
    floor (24923.5)     		tx = 24923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769515991210938 × 215)
    floor (0.769515991210938 × 32768)
    floor (25215.5)     		ty = 25215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24923 / 25215 ti = "15/24923/25215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24923/25215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24923 ÷ 215
    24923 ÷ 32768     		x = 0.760589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25215 ÷ 215
    25215 ÷ 32768     		y = 0.769500732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760589599609375 × 2 - 1) × π
    0.52117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63733274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.53900146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69332304217886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63733274} λ = 1.63733274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69332304217886))-π/2
    2×atan(0.183907375492889)-π/2
    2×0.181875093178581-π/2
    0.363750186357163-1.57079632675     		φ = -1.20704614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63733274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.812256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20704614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.158650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24923 KachelY 25215 1.63733274 -1.20704614 93.812256 -69.158650
    Oben rechts KachelX + 1 24924 KachelY 25215 1.63752449 -1.20704614 93.823242 -69.158650
    Unten links KachelX 24923 KachelY + 1 25216 1.63733274 -1.20711435 93.812256 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 24924 KachelY + 1 25216 1.63752449 -1.20711435 93.823242 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20704614--1.20711435) × R
    6.82099999997909e-05 × 6371000     		dl = 434.565909998668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20704614--1.20711435) × R
    6.82099999997909e-05 × 6371000     		dr = 434.565909998668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63733274-1.63752449) × cos(-1.20704614) × R
    0.000191750000000157 × 0.355781535785686 × 6371000     		do = 434.63668854143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63733274-1.63752449) × cos(-1.20711435) × R
    0.000191750000000157 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 434.558811739769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20704614)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355781535785686-0.355717787996262)×R²
    abs(1.63752449-1.63733274)×6.37477894243066e-05×R²
    0.000191750000000157×6.37477894243066e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.37477894243066e-05×40589641000000     		ar = 188861.366846403m²