Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24922 / 29114
↖ ↑ ↗
← N 19.673625°
W 43.099365°		 ← 575.13 m → N 19.673625°
W 43.093872°		 →
↑
575.17 m
↓
↑
575.17 m
↓
N 19.668453°
W 43.099365°		 ← 575.15 m →
330 807 m²		 N 19.668453°
W 43.093872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380287170410156 y=0.444252014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380287170410156 × 216)
    floor (0.380287170410156 × 65536)
    floor (24922.5)     		tx = 24922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444252014160156 × 216)
    floor (0.444252014160156 × 65536)
    floor (29114.5)     		ty = 29114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24922 / 29114 ti = "16/24922/29114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24922/29114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24922 ÷ 216
    24922 ÷ 65536     		x = 0.380279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29114 ÷ 216
    29114 ÷ 65536     		y = 0.444244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75222583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444244384765625 × 2 - 1) × π
    0.11151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35032286242337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75222583} λ = -0.75222583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35032286242337))-π/2
    2×atan(1.41952578615079)-π/2
    2×0.957082934322086-π/2
    1.91416586864417-1.57079632675     		φ = 0.34336954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75222583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34336954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.673625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24922 KachelY 29114 -0.75222583 0.34336954 -43.099365 19.673625
    Oben rechts KachelX + 1 24923 KachelY 29114 -0.75212996 0.34336954 -43.093872 19.673625
    Unten links KachelX 24922 KachelY + 1 29115 -0.75222583 0.34327926 -43.099365 19.668453
    Unten rechts KachelX + 1 24923 KachelY + 1 29115 -0.75212996 0.34327926 -43.093872 19.668453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34336954-0.34327926) × R
    9.02799999999981e-05 × 6371000     		dl = 575.173879999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34336954-0.34327926) × R
    9.02799999999981e-05 × 6371000     		dr = 575.173879999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75222583--0.75212996) × cos(0.34336954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941625617639459 × 6371000     		do = 575.133411172865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75222583--0.75212996) × cos(0.34327926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94165600763321 × 6371000     		du = 575.151973009379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34336954)-sin(0.34327926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941625617639459-0.94165600763321)×R²
    abs(-0.75212996--0.75222583)×3.03899937512675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03899937512675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03899937512675e-05×40589641000000     		ar = 330807.053988228m²