Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24921 / 29111
↖ ↑ ↗
← N 19.689142°
W 43.104858°		 ← 575.08 m → N 19.689142°
W 43.099365°		 →
↑
575.11 m
↓
↑
575.11 m
↓
N 19.683970°
W 43.104858°		 ← 575.10 m →
330 738 m²		 N 19.683970°
W 43.099365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380271911621094 y=0.444206237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380271911621094 × 216)
    floor (0.380271911621094 × 65536)
    floor (24921.5)     		tx = 24921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444206237792969 × 216)
    floor (0.444206237792969 × 65536)
    floor (29111.5)     		ty = 29111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24921 / 29111 ti = "16/24921/29111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24921/29111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24921 ÷ 216
    24921 ÷ 65536     		x = 0.380264282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29111 ÷ 216
    29111 ÷ 65536     		y = 0.444198608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380264282226562 × 2 - 1) × π
    -0.239471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75232170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444198608398438 × 2 - 1) × π
    0.111602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.350610483821091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75232170} λ = -0.75232170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350610483821091))-π/2
    2×atan(1.41993413086302)-π/2
    2×0.957218343602455-π/2
    1.91443668720491-1.57079632675     		φ = 0.34364036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75232170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.104858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34364036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.689142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24921 KachelY 29111 -0.75232170 0.34364036 -43.104858 19.689142
    Oben rechts KachelX + 1 24922 KachelY 29111 -0.75222583 0.34364036 -43.099365 19.689142
    Unten links KachelX 24921 KachelY + 1 29112 -0.75232170 0.34355009 -43.104858 19.683970
    Unten rechts KachelX + 1 24922 KachelY + 1 29112 -0.75222583 0.34355009 -43.099365 19.683970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34364036-0.34355009) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dl = 575.110170000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34364036-0.34355009) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dr = 575.110170000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75232170--0.75222583) × cos(0.34364036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941534408349337 × 6371000     		do = 575.077701653949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75232170--0.75222583) × cos(0.34355009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941564817996425 × 6371000     		du = 575.096275494479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34364036)-sin(0.34355009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941534408349337-0.941564817996425)×R²
    abs(-0.75222583--0.75232170)×3.04096470872262e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04096470872262e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04096470872262e-05×40589641000000     		ar = 330738.375988132m²