Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24920 / 40264
↖ ↑ ↗
← S 38.030786°
W 43.110352°		 ← 481.16 m → S 38.030786°
W 43.104858°		 →
↑
481.07 m
↓
↑
481.07 m
↓
S 38.035112°
W 43.110352°		 ← 481.13 m →
231 465 m²		 S 38.035112°
W 43.104858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380256652832031 y=0.614387512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380256652832031 × 216)
    floor (0.380256652832031 × 65536)
    floor (24920.5)     		tx = 24920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614387512207031 × 216)
    floor (0.614387512207031 × 65536)
    floor (40264.5)     		ty = 40264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24920 / 40264 ti = "16/24920/40264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24920/40264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24920 ÷ 216
    24920 ÷ 65536     		x = 0.3802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40264 ÷ 216
    40264 ÷ 65536     		y = 0.6143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75241758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.718669999103882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75241758} λ = -0.75241758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718669999103882))-π/2
    2×atan(0.487400067596121)-π/2
    2×0.453516949666755-π/2
    0.90703389933351-1.57079632675     		φ = -0.66376243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75241758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.110352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66376243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.030786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24920 KachelY 40264 -0.75241758 -0.66376243 -43.110352 -38.030786
    Oben rechts KachelX + 1 24921 KachelY 40264 -0.75232170 -0.66376243 -43.104858 -38.030786
    Unten links KachelX 24920 KachelY + 1 40265 -0.75241758 -0.66383794 -43.110352 -38.035112
    Unten rechts KachelX + 1 24921 KachelY + 1 40265 -0.75232170 -0.66383794 -43.104858 -38.035112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66376243--0.66383794) × R
    7.55099999999453e-05 × 6371000     		dl = 481.074209999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66376243--0.66383794) × R
    7.55099999999453e-05 × 6371000     		dr = 481.074209999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75241758--0.75232170) × cos(-0.66376243) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.787679836191653 × 6371000     		do = 481.15539370407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75241758--0.75232170) × cos(-0.66383794) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.787633313383183 × 6371000     		du = 481.126975177663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66376243)-sin(-0.66383794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787679836191653-0.787633313383183)×R²
    abs(-0.75232170--0.75241758)×4.65228084698399e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.65228084698399e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.65228084698399e-05×40589641000000     		ar = 231464.615313479m²