Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24919 / 42201
↖ ↑ ↗
← S 45.924409°
W 43.115845°		 ← 424.87 m → S 45.924409°
W 43.110352°		 →
↑
424.82 m
↓
↑
424.82 m
↓
S 45.928229°
W 43.115845°		 ← 424.84 m →
180 486 m²		 S 45.928229°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380241394042969 y=0.643943786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380241394042969 × 216)
    floor (0.380241394042969 × 65536)
    floor (24919.5)     		tx = 24919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643943786621094 × 216)
    floor (0.643943786621094 × 65536)
    floor (42201.5)     		ty = 42201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24919 / 42201 ti = "16/24919/42201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24919/42201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24919 ÷ 216
    24919 ÷ 65536     		x = 0.380233764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42201 ÷ 216
    42201 ÷ 65536     		y = 0.643936157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380233764648438 × 2 - 1) × π
    -0.239532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75251345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643936157226562 × 2 - 1) × π
    -0.287872314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.904377548231979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75251345} λ = -0.75251345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904377548231979))-π/2
    2×atan(0.404793771300011)-π/2
    2×0.384632095216869-π/2
    0.769264190433738-1.57079632675     		φ = -0.80153214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75251345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.115845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80153214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.924409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24919 KachelY 42201 -0.75251345 -0.80153214 -43.115845 -45.924409
    Oben rechts KachelX + 1 24920 KachelY 42201 -0.75241758 -0.80153214 -43.110352 -45.924409
    Unten links KachelX 24919 KachelY + 1 42202 -0.75251345 -0.80159882 -43.115845 -45.928229
    Unten rechts KachelX + 1 24920 KachelY + 1 42202 -0.75241758 -0.80159882 -43.110352 -45.928229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80153214--0.80159882) × R
    6.66800000000967e-05 × 6371000     		dl = 424.818280000616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80153214--0.80159882) × R
    6.66800000000967e-05 × 6371000     		dr = 424.818280000616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75251345--0.75241758) × cos(-0.80153214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695606802073105 × 6371000     		do = 424.868127435054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75251345--0.75241758) × cos(-0.80159882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695558896101045 × 6371000     		du = 424.838867053209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80153214)-sin(-0.80159882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695606802073105-0.695558896101045)×R²
    abs(-0.75241758--0.75251345)×4.79059720598363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79059720598363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79059720598363e-05×40589641000000     		ar = 180485.53201844m²