Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24919 / 24375
↖ ↑ ↗
← S 65.617487°
E 93.768310°		 ← 504.33 m → S 65.617487°
E 93.779297°		 →
↑
504.33 m
↓
↑
504.33 m
↓
S 65.622023°
E 93.768310°		 ← 504.24 m →
254 323 m²		 S 65.622023°
E 93.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760482788085938 y=0.743881225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760482788085938 × 215)
    floor (0.760482788085938 × 32768)
    floor (24919.5)     		tx = 24919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743881225585938 × 215)
    floor (0.743881225585938 × 32768)
    floor (24375.5)     		ty = 24375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24919 / 24375 ti = "15/24919/24375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24919/24375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24919 ÷ 215
    24919 ÷ 32768     		x = 0.760467529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24375 ÷ 215
    24375 ÷ 32768     		y = 0.743865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760467529296875 × 2 - 1) × π
    0.52093505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63656575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.48773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53225505945547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63656575} λ = 1.63656575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53225505945547))-π/2
    2×atan(0.216047916672026)-π/2
    2×0.212777560965326-π/2
    0.425555121930652-1.57079632675     		φ = -1.14524120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63656575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.768310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14524120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.617487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24919 KachelY 24375 1.63656575 -1.14524120 93.768310 -65.617487
    Oben rechts KachelX + 1 24920 KachelY 24375 1.63675750 -1.14524120 93.779297 -65.617487
    Unten links KachelX 24919 KachelY + 1 24376 1.63656575 -1.14532036 93.768310 -65.622023
    Unten rechts KachelX + 1 24920 KachelY + 1 24376 1.63675750 -1.14532036 93.779297 -65.622023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14524120--1.14532036) × R
    7.9159999999856e-05 × 6371000     		dl = 504.328359999083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14524120--1.14532036) × R
    7.9159999999856e-05 × 6371000     		dr = 504.328359999083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63656575-1.63675750) × cos(-1.14524120) × R
    0.000191750000000157 × 0.412826460197729 × 6371000     		do = 504.325007216522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63656575-1.63675750) × cos(-1.14532036) × R
    0.000191750000000157 × 0.412754359208324 × 6371000     		du = 504.236925817901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14524120)-sin(-1.14532036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412826460197729-0.412754359208324)×R²
    abs(1.63675750-1.63656575)×7.21009894051328e-05×R²
    0.000191750000000157×7.21009894051328e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.21009894051328e-05×40589641000000     		ar = 254323.192955074m²