Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24918 / 40263
↖ ↑ ↗
← S 38.026459°
W 43.121338°		 ← 481.13 m → S 38.026459°
W 43.115845°		 →
↑
481.14 m
↓
↑
481.14 m
↓
S 38.030786°
W 43.121338°		 ← 481.11 m →
231 485 m²		 S 38.030786°
W 43.115845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380226135253906 y=0.614372253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380226135253906 × 216)
    floor (0.380226135253906 × 65536)
    floor (24918.5)     		tx = 24918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614372253417969 × 216)
    floor (0.614372253417969 × 65536)
    floor (40263.5)     		ty = 40263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24918 / 40263 ti = "16/24918/40263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24918/40263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24918 ÷ 216
    24918 ÷ 65536     		x = 0.380218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40263 ÷ 216
    40263 ÷ 65536     		y = 0.614364624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.23956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75260932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614364624023438 × 2 - 1) × π
    -0.228729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.718574125304642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75260932} λ = -0.75260932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718574125304642))-π/2
    2×atan(0.487446798732462)-π/2
    2×0.453554709711198-π/2
    0.907109419422396-1.57079632675     		φ = -0.66368691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75260932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66368691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.026459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24918 KachelY 40263 -0.75260932 -0.66368691 -43.121338 -38.026459
    Oben rechts KachelX + 1 24919 KachelY 40263 -0.75251345 -0.66368691 -43.115845 -38.026459
    Unten links KachelX 24918 KachelY + 1 40264 -0.75260932 -0.66376243 -43.121338 -38.030786
    Unten rechts KachelX + 1 24919 KachelY + 1 40264 -0.75251345 -0.66376243 -43.115845 -38.030786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66368691--0.66376243) × R
    7.55199999999956e-05 × 6371000     		dl = 481.137919999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66368691--0.66376243) × R
    7.55199999999956e-05 × 6371000     		dr = 481.137919999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75260932--0.75251345) × cos(-0.66368691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787726360669215 × 6371000     		do = 481.133627203355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75260932--0.75251345) × cos(-0.66376243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787679836191653 × 6371000     		du = 481.105210621455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66368691)-sin(-0.66376243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787726360669215-0.787679836191653)×R²
    abs(-0.75251345--0.75260932)×4.65244775615936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65244775615936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65244775615936e-05×40589641000000     		ar = 231484.796596738m²