Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24916 / 42202
↖ ↑ ↗
← S 45.928229°
W 43.132324°		 ← 424.84 m → S 45.928229°
W 43.126831°		 →
↑
424.88 m
↓
↑
424.88 m
↓
S 45.932050°
W 43.132324°		 ← 424.81 m →
180 500 m²		 S 45.932050°
W 43.126831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380195617675781 y=0.643959045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380195617675781 × 216)
    floor (0.380195617675781 × 65536)
    floor (24916.5)     		tx = 24916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643959045410156 × 216)
    floor (0.643959045410156 × 65536)
    floor (42202.5)     		ty = 42202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24916 / 42202 ti = "16/24916/42202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24916/42202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24916 ÷ 216
    24916 ÷ 65536     		x = 0.38018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42202 ÷ 216
    42202 ÷ 65536     		y = 0.643951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.2396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75280107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.28790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.904473422031219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75280107} λ = -0.75280107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904473422031219))-π/2
    2×atan(0.404754964043577)-π/2
    2×0.384598751131671-π/2
    0.769197502263342-1.57079632675     		φ = -0.80159882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75280107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.132324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80159882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.928229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24916 KachelY 42202 -0.75280107 -0.80159882 -43.132324 -45.928229
    Oben rechts KachelX + 1 24917 KachelY 42202 -0.75270520 -0.80159882 -43.126831 -45.928229
    Unten links KachelX 24916 KachelY + 1 42203 -0.75280107 -0.80166551 -43.132324 -45.932050
    Unten rechts KachelX + 1 24917 KachelY + 1 42203 -0.75270520 -0.80166551 -43.126831 -45.932050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80159882--0.80166551) × R
    6.66899999999249e-05 × 6371000     		dl = 424.881989999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80159882--0.80166551) × R
    6.66899999999249e-05 × 6371000     		dr = 424.881989999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75280107--0.75270520) × cos(-0.80159882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695558896101045 × 6371000     		do = 424.838867053209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75280107--0.75270520) × cos(-0.80166551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695510979851221 × 6371000     		du = 424.809600393833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80159882)-sin(-0.80166551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695558896101045-0.695510979851221)×R²
    abs(-0.75270520--0.75280107)×4.79162498239205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79162498239205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79162498239205e-05×40589641000000     		ar = 180500.165891316m²