Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24915 / 25170
↖ ↑ ↗
← S 68.982046°
E 93.724365°		 ← 438.15 m → S 68.982046°
E 93.735352°		 →
↑
438.13 m
↓
↑
438.13 m
↓
S 68.985986°
E 93.724365°		 ← 438.08 m →
191 953 m²		 S 68.985986°
E 93.735352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760360717773438 y=0.768142700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760360717773438 × 215)
    floor (0.760360717773438 × 32768)
    floor (24915.5)     		tx = 24915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768142700195312 × 215)
    floor (0.768142700195312 × 32768)
    floor (25170.5)     		ty = 25170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24915 / 25170 ti = "15/24915/25170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24915/25170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24915 ÷ 215
    24915 ÷ 32768     		x = 0.760345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25170 ÷ 215
    25170 ÷ 32768     		y = 0.76812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760345458984375 × 2 - 1) × π
    0.52069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63579876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.5362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68469440024725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63579876} λ = 1.63579876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68469440024725))-π/2
    2×atan(0.185501112388847)-π/2
    2×0.183416252139748-π/2
    0.366832504279497-1.57079632675     		φ = -1.20396382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63579876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20396382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.982046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24915 KachelY 25170 1.63579876 -1.20396382 93.724365 -68.982046
    Oben rechts KachelX + 1 24916 KachelY 25170 1.63599051 -1.20396382 93.735352 -68.982046
    Unten links KachelX 24915 KachelY + 1 25171 1.63579876 -1.20403259 93.724365 -68.985986
    Unten rechts KachelX + 1 24916 KachelY + 1 25171 1.63599051 -1.20403259 93.735352 -68.985986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20396382--1.20403259) × R
    6.87699999999403e-05 × 6371000     		dl = 438.133669999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20396382--1.20403259) × R
    6.87699999999403e-05 × 6371000     		dr = 438.133669999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63579876-1.63599051) × cos(-1.20396382) × R
    0.000191750000000157 × 0.358660482326285 × 6371000     		do = 438.15372263408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63579876-1.63599051) × cos(-1.20403259) × R
    0.000191750000000157 × 0.35859628687829 × 6371000     		du = 438.075298955138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20396382)-sin(-1.20403259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358660482326285-0.35859628687829)×R²
    abs(1.63599051-1.63579876)×6.41954479948526e-05×R²
    0.000191750000000157×6.41954479948526e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.41954479948526e-05×40589641000000     		ar = 191952.718570279m²