Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24914 / 25212
↖ ↑ ↗
← S 69.146920°
E 93.713379°		 ← 434.85 m → S 69.146920°
E 93.724365°		 →
↑
434.88 m
↓
↑
434.88 m
↓
S 69.150831°
E 93.713379°		 ← 434.77 m →
189 092 m²		 S 69.150831°
E 93.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760330200195312 y=0.769424438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760330200195312 × 215)
    floor (0.760330200195312 × 32768)
    floor (24914.5)     		tx = 24914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769424438476562 × 215)
    floor (0.769424438476562 × 32768)
    floor (25212.5)     		ty = 25212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24914 / 25212 ti = "15/24914/25212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24914/25212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24914 ÷ 215
    24914 ÷ 32768     		x = 0.76031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25212 ÷ 215
    25212 ÷ 32768     		y = 0.7694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76031494140625 × 2 - 1) × π
    0.5206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63560702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69274779938342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63560702} λ = 1.63560702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69274779938342))-π/2
    2×atan(0.184013197319373)-π/2
    2×0.181977451071905-π/2
    0.36395490214381-1.57079632675     		φ = -1.20684142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63560702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20684142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.146920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24914 KachelY 25212 1.63560702 -1.20684142 93.713379 -69.146920
    Oben rechts KachelX + 1 24915 KachelY 25212 1.63579876 -1.20684142 93.724365 -69.146920
    Unten links KachelX 24914 KachelY + 1 25213 1.63560702 -1.20690968 93.713379 -69.150831
    Unten rechts KachelX + 1 24915 KachelY + 1 25213 1.63579876 -1.20690968 93.724365 -69.150831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20684142--1.20690968) × R
    6.82600000001532e-05 × 6371000     		dl = 434.884460000976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20684142--1.20690968) × R
    6.82600000001532e-05 × 6371000     		dr = 434.884460000976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63560702-1.63579876) × cos(-1.20684142) × R
    0.000191739999999996 × 0.355972853325578 × 6371000     		do = 434.847730526524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63560702-1.63579876) × cos(-1.20690968) × R
    0.000191739999999996 × 0.355909063779131 × 6371000     		du = 434.769806776877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20684142)-sin(-1.20690968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355972853325578-0.355909063779131)×R²
    abs(1.63579876-1.63560702)×6.37895464471461e-05×R²
    0.000191739999999996×6.37895464471461e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.37895464471461e-05×40589641000000     		ar = 189091.57663299m²