Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24914 / 25171
↖ ↑ ↗
← S 68.985986°
E 93.713379°		 ← 438.05 m → S 68.985986°
E 93.724365°		 →
↑
438.01 m
↓
↑
438.01 m
↓
S 68.989925°
E 93.713379°		 ← 437.97 m →
191 853 m²		 S 68.989925°
E 93.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760330200195312 y=0.768173217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760330200195312 × 215)
    floor (0.760330200195312 × 32768)
    floor (24914.5)     		tx = 24914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768173217773438 × 215)
    floor (0.768173217773438 × 32768)
    floor (25171.5)     		ty = 25171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24914 / 25171 ti = "15/24914/25171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24914/25171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24914 ÷ 215
    24914 ÷ 32768     		x = 0.76031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25171 ÷ 215
    25171 ÷ 32768     		y = 0.768157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76031494140625 × 2 - 1) × π
    0.5206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63560702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.53631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68488614784573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63560702} λ = 1.63560702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68488614784573))-π/2
    2×atan(0.185465546405986)-π/2
    2×0.183381869074131-π/2
    0.366763738148263-1.57079632675     		φ = -1.20403259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63560702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20403259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.985986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24914 KachelY 25171 1.63560702 -1.20403259 93.713379 -68.985986
    Oben rechts KachelX + 1 24915 KachelY 25171 1.63579876 -1.20403259 93.724365 -68.985986
    Unten links KachelX 24914 KachelY + 1 25172 1.63560702 -1.20410134 93.713379 -68.989925
    Unten rechts KachelX + 1 24915 KachelY + 1 25172 1.63579876 -1.20410134 93.724365 -68.989925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20403259--1.20410134) × R
    6.87500000000618e-05 × 6371000     		dl = 438.006250000394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20403259--1.20410134) × R
    6.87500000000618e-05 × 6371000     		dr = 438.006250000394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63560702-1.63579876) × cos(-1.20403259) × R
    0.000191739999999996 × 0.35859628687829 × 6371000     		do = 438.052452785332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63560702-1.63579876) × cos(-1.20410134) × R
    0.000191739999999996 × 0.358532108404729 × 6371000     		du = 437.974053931836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20403259)-sin(-1.20410134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35859628687829-0.358532108404729)×R²
    abs(1.63579876-1.63560702)×6.41784735610496e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41784735610496e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41784735610496e-05×40589641000000     		ar = 191852.542629133m²