Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 24911 / 57409
↖ ↑ ↗
← N 21.777355°
W111.579895°		 ← 283.63 m → N 21.777355°
W111.577148°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.774804°
W111.579895°		 ← 283.63 m →
80 430 m²		 N 21.774804°
W111.577148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190059661865234 y=0.437999725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190059661865234 × 217)
    floor (0.190059661865234 × 131072)
    floor (24911.5)     		tx = 24911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437999725341797 × 217)
    floor (0.437999725341797 × 131072)
    floor (57409.5)     		ty = 57409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24911 / 57409 ti = "17/24911/57409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24911/57409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24911 ÷ 217
    24911 ÷ 131072     		x = 0.190055847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57409 ÷ 217
    57409 ÷ 131072     		y = 0.437995910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.190055847167969 × 2 - 1) × π
    -0.619888305664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.94743655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437995910644531 × 2 - 1) × π
    0.124008178710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.389583183212196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94743655} λ = -1.94743655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389583183212196))-π/2
    2×atan(1.47636529177721)-π/2
    2×0.975441435207912-π/2
    1.95088287041582-1.57079632675     		φ = 0.38008654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94743655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.579895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38008654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.777355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24911 KachelY 57409 -1.94743655 0.38008654 -111.579895 21.777355
    Oben rechts KachelX + 1 24912 KachelY 57409 -1.94738861 0.38008654 -111.577148 21.777355
    Unten links KachelX 24911 KachelY + 1 57410 -1.94743655 0.38004203 -111.579895 21.774804
    Unten rechts KachelX + 1 24912 KachelY + 1 57410 -1.94738861 0.38004203 -111.577148 21.774804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38008654-0.38004203) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38008654-0.38004203) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94743655--1.94738861) × cos(0.38008654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928632532641663 × 6371000     		do = 283.628278469968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94743655--1.94738861) × cos(0.38004203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928649044968933 × 6371000     		du = 283.633321759744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38008654)-sin(0.38004203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928632532641663-0.928649044968933)×R²
    abs(-1.94738861--1.94743655)×1.65123272697354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65123272697354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65123272697354e-05×40589641000000     		ar = 80430.0964566169m²