Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24911 / 25169
↖ ↑ ↗
← S 68.978105°
E 93.680420°		 ← 438.23 m → S 68.978105°
E 93.691406°		 →
↑
438.20 m
↓
↑
438.20 m
↓
S 68.982046°
E 93.680420°		 ← 438.15 m →
192 015 m²		 S 68.982046°
E 93.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760238647460938 y=0.768112182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760238647460938 × 215)
    floor (0.760238647460938 × 32768)
    floor (24911.5)     		tx = 24911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768112182617188 × 215)
    floor (0.768112182617188 × 32768)
    floor (25169.5)     		ty = 25169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24911 / 25169 ti = "15/24911/25169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24911/25169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24911 ÷ 215
    24911 ÷ 32768     		x = 0.760223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25169 ÷ 215
    25169 ÷ 32768     		y = 0.768096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760223388671875 × 2 - 1) × π
    0.52044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63503177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.53619384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68450265264877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63503177} λ = 1.63503177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68450265264877))-π/2
    2×atan(0.185536685192054)-π/2
    2×0.18345064136015-π/2
    0.3669012827203-1.57079632675     		φ = -1.20389504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63503177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.680420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20389504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.978105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24911 KachelY 25169 1.63503177 -1.20389504 93.680420 -68.978105
    Oben rechts KachelX + 1 24912 KachelY 25169 1.63522352 -1.20389504 93.691406 -68.978105
    Unten links KachelX 24911 KachelY + 1 25170 1.63503177 -1.20396382 93.680420 -68.982046
    Unten rechts KachelX + 1 24912 KachelY + 1 25170 1.63522352 -1.20396382 93.691406 -68.982046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20389504--1.20396382) × R
    6.87800000001015e-05 × 6371000     		dl = 438.197380000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20389504--1.20396382) × R
    6.87800000001015e-05 × 6371000     		dr = 438.197380000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63503177-1.63522352) × cos(-1.20389504) × R
    0.000191749999999935 × 0.358724685412496 × 6371000     		do = 438.232155643659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63503177-1.63522352) × cos(-1.20396382) × R
    0.000191749999999935 × 0.358660482326285 × 6371000     		du = 438.153722633572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20389504)-sin(-1.20396382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358724685412496-0.358660482326285)×R²
    abs(1.63522352-1.63503177)×6.42030862115228e-05×R²
    0.000191749999999935×6.42030862115228e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.42030862115228e-05×40589641000000     		ar = 192014.997940864m²