Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24910 / 25206
↖ ↑ ↗
← S 69.123442°
E 93.669433°		 ← 435.34 m → S 69.123442°
E 93.680420°		 →
↑
435.33 m
↓
↑
435.33 m
↓
S 69.127357°
E 93.669433°		 ← 435.26 m →
189 499 m²		 S 69.127357°
E 93.680420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760208129882812 y=0.769241333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760208129882812 × 215)
    floor (0.760208129882812 × 32768)
    floor (24910.5)     		tx = 24910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769241333007812 × 215)
    floor (0.769241333007812 × 32768)
    floor (25206.5)     		ty = 25206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24910 / 25206 ti = "15/24910/25206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24910/25206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24910 ÷ 215
    24910 ÷ 32768     		x = 0.76019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25206 ÷ 215
    25206 ÷ 32768     		y = 0.76922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    0.5203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63484002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.5384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69159731379254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63484002} λ = 1.63484002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69159731379254))-π/2
    2×atan(0.184225023679644)-π/2
    2×0.182182331999444-π/2
    0.364364663998888-1.57079632675     		φ = -1.20643166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63484002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.669433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20643166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.123442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24910 KachelY 25206 1.63484002 -1.20643166 93.669433 -69.123442
    Oben rechts KachelX + 1 24911 KachelY 25206 1.63503177 -1.20643166 93.680420 -69.123442
    Unten links KachelX 24910 KachelY + 1 25207 1.63484002 -1.20649999 93.669433 -69.127357
    Unten rechts KachelX + 1 24911 KachelY + 1 25207 1.63503177 -1.20649999 93.680420 -69.127357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20643166--1.20649999) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dl = 435.33042999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20643166--1.20649999) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dr = 435.33042999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63484002-1.63503177) × cos(-1.20643166) × R
    0.000191750000000157 × 0.356355742632711 × 6371000     		do = 435.338162163375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63484002-1.63503177) × cos(-1.20649999) × R
    0.000191750000000157 × 0.356291897641137 × 6371000     		du = 435.260166615752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20643166)-sin(-1.20649999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356355742632711-0.356291897641137)×R²
    abs(1.63503177-1.63484002)×6.38449915741912e-05×R²
    0.000191750000000157×6.38449915741912e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.38449915741912e-05×40589641000000     		ar = 189498.97248574m²