Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24910 / 25164
↖ ↑ ↗
← S 68.958391°
E 93.669433°		 ← 438.62 m → S 68.958391°
E 93.680420°		 →
↑
438.58 m
↓
↑
438.58 m
↓
S 68.962335°
E 93.669433°		 ← 438.55 m →
192 355 m²		 S 68.962335°
E 93.680420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760208129882812 y=0.767959594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760208129882812 × 215)
    floor (0.760208129882812 × 32768)
    floor (24910.5)     		tx = 24910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767959594726562 × 215)
    floor (0.767959594726562 × 32768)
    floor (25164.5)     		ty = 25164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24910 / 25164 ti = "15/24910/25164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24910/25164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24910 ÷ 215
    24910 ÷ 32768     		x = 0.76019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25164 ÷ 215
    25164 ÷ 32768     		y = 0.7679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    0.5203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63484002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68354391465637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63484002} λ = 1.63484002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68354391465637))-π/2
    2×atan(0.185714651559058)-π/2
    2×0.183622679816798-π/2
    0.367245359633596-1.57079632675     		φ = -1.20355097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63484002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.669433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20355097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.958391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24910 KachelY 25164 1.63484002 -1.20355097 93.669433 -68.958391
    Oben rechts KachelX + 1 24911 KachelY 25164 1.63503177 -1.20355097 93.680420 -68.958391
    Unten links KachelX 24910 KachelY + 1 25165 1.63484002 -1.20361981 93.669433 -68.962335
    Unten rechts KachelX + 1 24911 KachelY + 1 25165 1.63503177 -1.20361981 93.680420 -68.962335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20355097--1.20361981) × R
    6.88399999999589e-05 × 6371000     		dl = 438.579639999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20355097--1.20361981) × R
    6.88399999999589e-05 × 6371000     		dr = 438.579639999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63484002-1.63503177) × cos(-1.20355097) × R
    0.000191750000000157 × 0.359045834046651 × 6371000     		do = 438.624483420735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63484002-1.63503177) × cos(-1.20361981) × R
    0.000191750000000157 × 0.35898158345207 × 6371000     		du = 438.545992372559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20355097)-sin(-1.20361981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359045834046651-0.35898158345207)×R²
    abs(1.63503177-1.63484002)×6.42505945808725e-05×R²
    0.000191750000000157×6.42505945808725e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.42505945808725e-05×40589641000000     		ar = 192354.555821408m²