Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24909 / 25162
↖ ↑ ↗
← S 68.950500°
E 93.658447°		 ← 438.76 m → S 68.950500°
E 93.669433°		 →
↑
438.71 m
↓
↑
438.71 m
↓
S 68.954446°
E 93.658447°		 ← 438.68 m →
192 469 m²		 S 68.954446°
E 93.669433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760177612304688 y=0.767898559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760177612304688 × 215)
    floor (0.760177612304688 × 32768)
    floor (24909.5)     		tx = 24909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767898559570312 × 215)
    floor (0.767898559570312 × 32768)
    floor (25162.5)     		ty = 25162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24909 / 25162 ti = "15/24909/25162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24909/25162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24909 ÷ 215
    24909 ÷ 32768     		x = 0.760162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25162 ÷ 215
    25162 ÷ 32768     		y = 0.76788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760162353515625 × 2 - 1) × π
    0.52032470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63464828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.5357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68316041945941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63464828} λ = 1.63464828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68316041945941))-π/2
    2×atan(0.185785885894076)-π/2
    2×0.183691538315821-π/2
    0.367383076631641-1.57079632675     		φ = -1.20341325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63464828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.658447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20341325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.950500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24909 KachelY 25162 1.63464828 -1.20341325 93.658447 -68.950500
    Oben rechts KachelX + 1 24910 KachelY 25162 1.63484002 -1.20341325 93.669433 -68.950500
    Unten links KachelX 24909 KachelY + 1 25163 1.63464828 -1.20348211 93.658447 -68.954446
    Unten rechts KachelX + 1 24910 KachelY + 1 25163 1.63484002 -1.20348211 93.669433 -68.954446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20341325--1.20348211) × R
    6.88599999998374e-05 × 6371000     		dl = 438.707059998964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20341325--1.20348211) × R
    6.88599999998374e-05 × 6371000     		dr = 438.707059998964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63464828-1.63484002) × cos(-1.20341325) × R
    0.000191739999999996 × 0.359174367461832 × 6371000     		do = 438.758621886336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63464828-1.63484002) × cos(-1.20348211) × R
    0.000191739999999996 × 0.359110101605638 × 6371000     		du = 438.680116288352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20341325)-sin(-1.20348211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359174367461832-0.359110101605638)×R²
    abs(1.63484002-1.63464828)×6.42658561939569e-05×R²
    0.000191739999999996×6.42658561939569e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.42658561939569e-05×40589641000000     		ar = 192469.284652512m²