Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 24908 / 57535
↖ ↑ ↗
← N 21.455625°
W111.588135°		 ← 284.26 m → N 21.455625°
W111.585388°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 21.453069°
W111.588135°		 ← 284.27 m →
80 808 m²		 N 21.453069°
W111.585388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190036773681641 y=0.438961029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190036773681641 × 217)
    floor (0.190036773681641 × 131072)
    floor (24908.5)     		tx = 24908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438961029052734 × 217)
    floor (0.438961029052734 × 131072)
    floor (57535.5)     		ty = 57535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24908 / 57535 ti = "17/24908/57535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24908/57535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24908 ÷ 217
    24908 ÷ 131072     		x = 0.190032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57535 ÷ 217
    57535 ÷ 131072     		y = 0.438957214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.190032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.61993408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.94758036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438957214355469 × 2 - 1) × π
    0.122085571289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.383543133860069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94758036} λ = -1.94758036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383543133860069))-π/2
    2×atan(1.46747484893841)-π/2
    2×0.972633812203343-π/2
    1.94526762440669-1.57079632675     		φ = 0.37447130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94758036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37447130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.455625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24908 KachelY 57535 -1.94758036 0.37447130 -111.588135 21.455625
    Oben rechts KachelX + 1 24909 KachelY 57535 -1.94753242 0.37447130 -111.585388 21.455625
    Unten links KachelX 24908 KachelY + 1 57536 -1.94758036 0.37442668 -111.588135 21.453069
    Unten rechts KachelX + 1 24909 KachelY + 1 57536 -1.94753242 0.37442668 -111.585388 21.453069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37447130-0.37442668) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dl = 284.27401999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37447130-0.37442668) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dr = 284.27401999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94758036--1.94753242) × cos(0.37447130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930701140139962 × 6371000     		do = 284.260084445905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94758036--1.94753242) × cos(0.37442668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930717460340206 × 6371000     		du = 284.265069055142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37447130)-sin(0.37442668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930701140139962-0.930717460340206)×R²
    abs(-1.94753242--1.94758036)×1.63202002446683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63202002446683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63202002446683e-05×40589641000000     		ar = 80808.4654417713m²