Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24906 / 25166
↖ ↑ ↗
← S 68.966278°
E 93.625488°		 ← 438.47 m → S 68.966278°
E 93.636475°		 →
↑
438.45 m
↓
↑
438.45 m
↓
S 68.970221°
E 93.625488°		 ← 438.39 m →
192 230 m²		 S 68.970221°
E 93.636475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760086059570312 y=0.768020629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760086059570312 × 215)
    floor (0.760086059570312 × 32768)
    floor (24906.5)     		tx = 24906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768020629882812 × 215)
    floor (0.768020629882812 × 32768)
    floor (25166.5)     		ty = 25166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24906 / 25166 ti = "15/24906/25166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24906/25166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24906 ÷ 215
    24906 ÷ 32768     		x = 0.76007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25166 ÷ 215
    25166 ÷ 32768     		y = 0.76800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76007080078125 × 2 - 1) × π
    0.5201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63407303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68392740985333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63407303} λ = 1.63407303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68392740985333))-π/2
    2×atan(0.185643444536828)-π/2
    2×0.183553845959454-π/2
    0.367107691918908-1.57079632675     		φ = -1.20368863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63407303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20368863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.966278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24906 KachelY 25166 1.63407303 -1.20368863 93.625488 -68.966278
    Oben rechts KachelX + 1 24907 KachelY 25166 1.63426478 -1.20368863 93.636475 -68.966278
    Unten links KachelX 24906 KachelY + 1 25167 1.63407303 -1.20375745 93.625488 -68.970221
    Unten rechts KachelX + 1 24907 KachelY + 1 25167 1.63426478 -1.20375745 93.636475 -68.970221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20368863--1.20375745) × R
    6.88199999998584e-05 × 6371000     		dl = 438.452219999098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20368863--1.20375745) × R
    6.88199999998584e-05 × 6371000     		dr = 438.452219999098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63407303-1.63426478) × cos(-1.20368863) × R
    0.000191750000000157 × 0.358917349823682 × 6371000     		do = 438.46752205095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63407303-1.63426478) × cos(-1.20375745) × R
    0.000191750000000157 × 0.358853114495393 × 6371000     		du = 438.389049652675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20368863)-sin(-1.20375745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358917349823682-0.358853114495393)×R²
    abs(1.63426478-1.63407303)×6.42353282895858e-05×R²
    0.000191750000000157×6.42353282895858e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.42353282895858e-05×40589641000000     		ar = 192229.855317452m²