Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24905 / 29127
↖ ↑ ↗
← N 19.606369°
W 43.192749°		 ← 575.37 m → N 19.606369°
W 43.187256°		 →
↑
575.37 m
↓
↑
575.37 m
↓
N 19.601194°
W 43.192749°		 ← 575.39 m →
331 056 m²		 N 19.601194°
W 43.187256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380027770996094 y=0.444450378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380027770996094 × 216)
    floor (0.380027770996094 × 65536)
    floor (24905.5)     		tx = 24905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444450378417969 × 216)
    floor (0.444450378417969 × 65536)
    floor (29127.5)     		ty = 29127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24905 / 29127 ti = "16/24905/29127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24905/29127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24905 ÷ 216
    24905 ÷ 65536     		x = 0.380020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29127 ÷ 216
    29127 ÷ 65536     		y = 0.444442749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380020141601562 × 2 - 1) × π
    -0.239959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75385568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444442749023438 × 2 - 1) × π
    0.111114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.349076503033249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75385568} λ = -0.75385568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349076503033249))-π/2
    2×atan(1.41775764895378)-π/2
    2×0.95649600936323-π/2
    1.91299201872646-1.57079632675     		φ = 0.34219569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75385568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.192749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34219569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.606369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24905 KachelY 29127 -0.75385568 0.34219569 -43.192749 19.606369
    Oben rechts KachelX + 1 24906 KachelY 29127 -0.75375981 0.34219569 -43.187256 19.606369
    Unten links KachelX 24905 KachelY + 1 29128 -0.75385568 0.34210538 -43.192749 19.601194
    Unten rechts KachelX + 1 24906 KachelY + 1 29128 -0.75375981 0.34210538 -43.187256 19.601194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34219569-0.34210538) × R
    9.03099999999823e-05 × 6371000     		dl = 575.365009999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34219569-0.34210538) × R
    9.03099999999823e-05 × 6371000     		dr = 575.365009999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75385568--0.75375981) × cos(0.34219569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942020159308426 × 6371000     		do = 575.374392399026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75385568--0.75375981) × cos(0.34210538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942050459554847 × 6371000     		du = 575.392899418967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34219569)-sin(0.34210538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942020159308426-0.942050459554847)×R²
    abs(-0.75375981--0.75385568)×3.03002464205893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03002464205893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03002464205893e-05×40589641000000     		ar = 331055.617407266m²