Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24904 / 29128
↖ ↑ ↗
← N 19.601194°
W 43.198242°		 ← 575.45 m → N 19.601194°
W 43.192749°		 →
↑
575.43 m
↓
↑
575.43 m
↓
N 19.596019°
W 43.198242°		 ← 575.47 m →
331 137 m²		 N 19.596019°
W 43.192749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380012512207031 y=0.444465637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380012512207031 × 216)
    floor (0.380012512207031 × 65536)
    floor (24904.5)     		tx = 24904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444465637207031 × 216)
    floor (0.444465637207031 × 65536)
    floor (29128.5)     		ty = 29128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24904 / 29128 ti = "16/24904/29128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24904/29128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24904 ÷ 216
    24904 ÷ 65536     		x = 0.3800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29128 ÷ 216
    29128 ÷ 65536     		y = 0.4444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75395156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    0.111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348980629234009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75395156} λ = -0.75395156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348980629234009))-π/2
    2×atan(1.41762172965723)-π/2
    2×0.956450851111115-π/2
    1.91290170222223-1.57079632675     		φ = 0.34210538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75395156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34210538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.601194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24904 KachelY 29128 -0.75395156 0.34210538 -43.198242 19.601194
    Oben rechts KachelX + 1 24905 KachelY 29128 -0.75385568 0.34210538 -43.192749 19.601194
    Unten links KachelX 24904 KachelY + 1 29129 -0.75395156 0.34201506 -43.198242 19.596019
    Unten rechts KachelX + 1 24905 KachelY + 1 29129 -0.75385568 0.34201506 -43.192749 19.596019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34210538-0.34201506) × R
    9.03200000000326e-05 × 6371000     		dl = 575.428720000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34210538-0.34201506) × R
    9.03200000000326e-05 × 6371000     		dr = 575.428720000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75395156--0.75385568) × cos(0.34210538) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.942050459554847 × 6371000     		do = 575.452917453381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75395156--0.75385568) × cos(0.34201506) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.942080755471863 × 6371000     		du = 575.471423759128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34210538)-sin(0.34201506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942050459554847-0.942080755471863)×R²
    abs(-0.75385568--0.75395156)×3.02959170160877e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02959170160877e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02959170160877e-05×40589641000000     		ar = 331137.460465634m²