Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24904 / 25173
↖ ↑ ↗
← S 68.993863°
E 93.603516°		 ← 437.92 m → S 68.993863°
E 93.614502°		 →
↑
437.88 m
↓
↑
437.88 m
↓
S 68.997801°
E 93.603516°		 ← 437.84 m →
191 738 m²		 S 68.997801°
E 93.614502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760025024414062 y=0.768234252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760025024414062 × 215)
    floor (0.760025024414062 × 32768)
    floor (24904.5)     		tx = 24904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768234252929688 × 215)
    floor (0.768234252929688 × 32768)
    floor (25173.5)     		ty = 25173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24904 / 25173 ti = "15/24904/25173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24904/25173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24904 ÷ 215
    24904 ÷ 32768     		x = 0.760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25173 ÷ 215
    25173 ÷ 32768     		y = 0.768218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760009765625 × 2 - 1) × π
    0.52001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63368954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.53643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68526964304269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63368954} λ = 1.63368954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68526964304269))-π/2
    2×atan(0.18539443489607)-π/2
    2×0.183313121403496-π/2
    0.366626242806992-1.57079632675     		φ = -1.20417008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63368954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.603516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20417008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.993863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24904 KachelY 25173 1.63368954 -1.20417008 93.603516 -68.993863
    Oben rechts KachelX + 1 24905 KachelY 25173 1.63388129 -1.20417008 93.614502 -68.993863
    Unten links KachelX 24904 KachelY + 1 25174 1.63368954 -1.20423881 93.603516 -68.997801
    Unten rechts KachelX + 1 24905 KachelY + 1 25174 1.63388129 -1.20423881 93.614502 -68.997801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20417008--1.20423881) × R
    6.87300000001834e-05 × 6371000     		dl = 437.878830001168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20417008--1.20423881) × R
    6.87300000001834e-05 × 6371000     		dr = 437.878830001168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63368954-1.63388129) × cos(-1.20417008) × R
    0.000191749999999935 × 0.358467937571964 × 6371000     		do = 437.918502404313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63368954-1.63388129) × cos(-1.20423881) × R
    0.000191749999999935 × 0.358403774381037 × 6371000     		du = 437.840118131871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20417008)-sin(-1.20423881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358467937571964-0.358403774381037)×R²
    abs(1.63388129-1.63368954)×6.41631909266693e-05×R²
    0.000191749999999935×6.41631909266693e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.41631909266693e-05×40589641000000     		ar = 191738.08013774m²