Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24901 / 29510
↖ ↑ ↗
← N 17.612611°
W 43.214722°		 ← 582.22 m → N 17.612611°
W 43.209228°		 →
↑
582.18 m
↓
↑
582.18 m
↓
N 17.607375°
W 43.214722°		 ← 582.23 m →
338 961 m²		 N 17.607375°
W 43.209228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379966735839844 y=0.450294494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379966735839844 × 216)
    floor (0.379966735839844 × 65536)
    floor (24901.5)     		tx = 24901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450294494628906 × 216)
    floor (0.450294494628906 × 65536)
    floor (29510.5)     		ty = 29510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24901 / 29510 ti = "16/24901/29510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24901/29510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24901 ÷ 216
    24901 ÷ 65536     		x = 0.379959106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29510 ÷ 216
    29510 ÷ 65536     		y = 0.450286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379959106445312 × 2 - 1) × π
    -0.240081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75423918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450286865234375 × 2 - 1) × π
    0.09942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.312356837924286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75423918} λ = -0.75423918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312356837924286))-π/2
    2×atan(1.36664227582324)-π/2
    2×0.939097187219875-π/2
    1.87819437443975-1.57079632675     		φ = 0.30739805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75423918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.214722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30739805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.612611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24901 KachelY 29510 -0.75423918 0.30739805 -43.214722 17.612611
    Oben rechts KachelX + 1 24902 KachelY 29510 -0.75414330 0.30739805 -43.209228 17.612611
    Unten links KachelX 24901 KachelY + 1 29511 -0.75423918 0.30730667 -43.214722 17.607375
    Unten rechts KachelX + 1 24902 KachelY + 1 29511 -0.75414330 0.30730667 -43.209228 17.607375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30739805-0.30730667) × R
    9.13799999999743e-05 × 6371000     		dl = 582.181979999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30739805-0.30730667) × R
    9.13799999999743e-05 × 6371000     		dr = 582.181979999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75423918--0.75414330) × cos(0.30739805) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953124092593388 × 6371000     		do = 582.21726258462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75423918--0.75414330) × cos(0.30730667) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953151738345276 × 6371000     		du = 582.234150033077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30739805)-sin(0.30730667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953124092593388-0.953151738345276)×R²
    abs(-0.75414330--0.75423918)×2.76457518885165e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.76457518885165e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.76457518885165e-05×40589641000000     		ar = 338961.314741494m²