Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24901 / 25175
↖ ↑ ↗
← S 69.001739°
E 93.570557°		 ← 437.74 m → S 69.001739°
E 93.581543°		 →
↑
437.69 m
↓
↑
437.69 m
↓
S 69.005675°
E 93.570557°		 ← 437.66 m →
191 576 m²		 S 69.005675°
E 93.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759933471679688 y=0.768295288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759933471679688 × 215)
    floor (0.759933471679688 × 32768)
    floor (24901.5)     		tx = 24901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768295288085938 × 215)
    floor (0.768295288085938 × 32768)
    floor (25175.5)     		ty = 25175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24901 / 25175 ti = "15/24901/25175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24901/25175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24901 ÷ 215
    24901 ÷ 32768     		x = 0.759918212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25175 ÷ 215
    25175 ÷ 32768     		y = 0.768280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759918212890625 × 2 - 1) × π
    0.51983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63311430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.53656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68565313823965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63311430} λ = 1.63311430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68565313823965))-π/2
    2×atan(0.185323350651849)-π/2
    2×0.183244398340732-π/2
    0.366488796681465-1.57079632675     		φ = -1.20430753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63311430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.570557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20430753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.001739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24901 KachelY 25175 1.63311430 -1.20430753 93.570557 -69.001739
    Oben rechts KachelX + 1 24902 KachelY 25175 1.63330604 -1.20430753 93.581543 -69.001739
    Unten links KachelX 24901 KachelY + 1 25176 1.63311430 -1.20437623 93.570557 -69.005675
    Unten rechts KachelX + 1 24902 KachelY + 1 25176 1.63330604 -1.20437623 93.581543 -69.005675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20430753--1.20437623) × R
    6.87000000001436e-05 × 6371000     		dl = 437.687700000915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20430753--1.20437623) × R
    6.87000000001436e-05 × 6371000     		dr = 437.687700000915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63311430-1.63330604) × cos(-1.20430753) × R
    0.000191739999999996 × 0.358339618832992 × 6371000     		do = 437.738913379296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63311430-1.63330604) × cos(-1.20437623) × R
    0.000191739999999996 × 0.358275480265027 × 6371000     		du = 437.6605632735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20430753)-sin(-1.20437623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358339618832992-0.358275480265027)×R²
    abs(1.63330604-1.63311430)×6.41385679643891e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41385679643891e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41385679643891e-05×40589641000000     		ar = 191575.791834402m²