Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24899 / 29507
↖ ↑ ↗
← N 17.628317°
W 43.225708°		 ← 582.17 m → N 17.628317°
W 43.220215°		 →
↑
582.12 m
↓
↑
582.12 m
↓
N 17.623082°
W 43.225708°		 ← 582.18 m →
338 895 m²		 N 17.623082°
W 43.220215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379936218261719 y=0.450248718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379936218261719 × 216)
    floor (0.379936218261719 × 65536)
    floor (24899.5)     		tx = 24899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450248718261719 × 216)
    floor (0.450248718261719 × 65536)
    floor (29507.5)     		ty = 29507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24899 / 29507 ti = "16/24899/29507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24899/29507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24899 ÷ 216
    24899 ÷ 65536     		x = 0.379928588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29507 ÷ 216
    29507 ÷ 65536     		y = 0.450241088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379928588867188 × 2 - 1) × π
    -0.240142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75443093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450241088867188 × 2 - 1) × π
    0.099517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.312644459322006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75443093} λ = -0.75443093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312644459322006))-π/2
    2×atan(1.36703540791868)-π/2
    2×0.939234250695824-π/2
    1.87846850139165-1.57079632675     		φ = 0.30767217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75443093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.225708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30767217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.628317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24899 KachelY 29507 -0.75443093 0.30767217 -43.225708 17.628317
    Oben rechts KachelX + 1 24900 KachelY 29507 -0.75433505 0.30767217 -43.220215 17.628317
    Unten links KachelX 24899 KachelY + 1 29508 -0.75443093 0.30758080 -43.225708 17.623082
    Unten rechts KachelX + 1 24900 KachelY + 1 29508 -0.75433505 0.30758080 -43.220215 17.623082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30767217-0.30758080) × R
    9.1370000000035e-05 × 6371000     		dl = 582.118270000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30767217-0.30758080) × R
    9.1370000000035e-05 × 6371000     		dr = 582.118270000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75443093--0.75433505) × cos(0.30767217) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953041113642207 × 6371000     		do = 582.166574769483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75443093--0.75433505) × cos(0.30758080) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953068780240751 × 6371000     		du = 582.18347495215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30767217)-sin(0.30758080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953041113642207-0.953068780240751)×R²
    abs(-0.75433505--0.75443093)×2.76665985442515e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.76665985442515e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.76665985442515e-05×40589641000000     		ar = 338894.718545148m²