Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24897 / 25172
↖ ↑ ↗
← S 68.989925°
E 93.526612°		 ← 437.97 m → S 68.989925°
E 93.537597°		 →
↑
437.94 m
↓
↑
437.94 m
↓
S 68.993863°
E 93.526612°		 ← 437.90 m →
191 790 m²		 S 68.993863°
E 93.537597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759811401367188 y=0.768203735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759811401367188 × 215)
    floor (0.759811401367188 × 32768)
    floor (24897.5)     		tx = 24897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768203735351562 × 215)
    floor (0.768203735351562 × 32768)
    floor (25172.5)     		ty = 25172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24897 / 25172 ti = "15/24897/25172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24897/25172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24897 ÷ 215
    24897 ÷ 32768     		x = 0.759796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25172 ÷ 215
    25172 ÷ 32768     		y = 0.7681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759796142578125 × 2 - 1) × π
    0.51959228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63234731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.536376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68507789544421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63234731} λ = 1.63234731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68507789544421))-π/2
    2×atan(0.185429987242163)-π/2
    2×0.18334749216236-π/2
    0.366694984324721-1.57079632675     		φ = -1.20410134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63234731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.526612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20410134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.989925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24897 KachelY 25172 1.63234731 -1.20410134 93.526612 -68.989925
    Oben rechts KachelX + 1 24898 KachelY 25172 1.63253905 -1.20410134 93.537597 -68.989925
    Unten links KachelX 24897 KachelY + 1 25173 1.63234731 -1.20417008 93.526612 -68.993863
    Unten rechts KachelX + 1 24898 KachelY + 1 25173 1.63253905 -1.20417008 93.537597 -68.993863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20410134--1.20417008) × R
    6.87399999999005e-05 × 6371000     		dl = 437.942539999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20410134--1.20417008) × R
    6.87399999999005e-05 × 6371000     		dr = 437.942539999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63234731-1.63253905) × cos(-1.20410134) × R
    0.000191739999999996 × 0.358532108404729 × 6371000     		do = 437.974053931836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63234731-1.63253905) × cos(-1.20417008) × R
    0.000191739999999996 × 0.358467937571964 × 6371000     		du = 437.895664412149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20410134)-sin(-1.20417008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358532108404729-0.358467937571964)×R²
    abs(1.63253905-1.63234731)×6.41708327648871e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41708327648871e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41708327648871e-05×40589641000000     		ar = 191790.304655745m²