Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24896 / 40290
↖ ↑ ↗
← S 38.143197°
W 43.242188°		 ← 480.42 m → S 38.143197°
W 43.236694°		 →
↑
480.37 m
↓
↑
480.37 m
↓
S 38.147517°
W 43.242188°		 ← 480.39 m →
230 772 m²		 S 38.147517°
W 43.236694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379890441894531 y=0.614784240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379890441894531 × 216)
    floor (0.379890441894531 × 65536)
    floor (24896.5)     		tx = 24896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614784240722656 × 216)
    floor (0.614784240722656 × 65536)
    floor (40290.5)     		ty = 40290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24896 / 40290 ti = "16/24896/40290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24896/40290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24896 ÷ 216
    24896 ÷ 65536     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40290 ÷ 216
    40290 ÷ 65536     		y = 0.614776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.22955322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.721162717884125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721162717884125))-π/2
    2×atan(0.486186629302667)-π/2
    2×0.452535971584266-π/2
    0.905071943168532-1.57079632675     		φ = -0.66572438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66572438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.143197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24896 KachelY 40290 -0.75471855 -0.66572438 -43.242188 -38.143197
    Oben rechts KachelX + 1 24897 KachelY 40290 -0.75462267 -0.66572438 -43.236694 -38.143197
    Unten links KachelX 24896 KachelY + 1 40291 -0.75471855 -0.66579978 -43.242188 -38.147517
    Unten rechts KachelX + 1 24897 KachelY + 1 40291 -0.75462267 -0.66579978 -43.236694 -38.147517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66572438--0.66579978) × R
    7.53999999999477e-05 × 6371000     		dl = 480.373399999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66572438--0.66579978) × R
    7.53999999999477e-05 × 6371000     		dr = 480.373399999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75462267) × cos(-0.66572438) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.786469593414963 × 6371000     		do = 480.416115112214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75462267) × cos(-0.66579978) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.786423021952988 × 6371000     		du = 480.38766686574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66572438)-sin(-0.66579978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786469593414963-0.786423021952988)×R²
    abs(-0.75462267--0.75471855)×4.65714619750646e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.65714619750646e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.65714619750646e-05×40589641000000     		ar = 230772.289849921m²