Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24894 / 41678
↖ ↑ ↗
← S 43.889975°
W 43.253174°		 ← 440.22 m → S 43.889975°
W 43.247681°		 →
↑
440.17 m
↓
↑
440.17 m
↓
S 43.893934°
W 43.253174°		 ← 440.19 m →
193 768 m²		 S 43.893934°
W 43.247681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379859924316406 y=0.635963439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379859924316406 × 216)
    floor (0.379859924316406 × 65536)
    floor (24894.5)     		tx = 24894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635963439941406 × 216)
    floor (0.635963439941406 × 65536)
    floor (41678.5)     		ty = 41678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24894 / 41678 ti = "16/24894/41678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24894/41678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24894 ÷ 216
    24894 ÷ 65536     		x = 0.379852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41678 ÷ 216
    41678 ÷ 65536     		y = 0.635955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.24029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75491030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.27191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.854235551229401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75491030} λ = -0.75491030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854235551229401))-π/2
    2×atan(0.425608422590429)-π/2
    2×0.402385873959905-π/2
    0.80477174791981-1.57079632675     		φ = -0.76602458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75491030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76602458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.889975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24894 KachelY 41678 -0.75491030 -0.76602458 -43.253174 -43.889975
    Oben rechts KachelX + 1 24895 KachelY 41678 -0.75481442 -0.76602458 -43.247681 -43.889975
    Unten links KachelX 24894 KachelY + 1 41679 -0.75491030 -0.76609367 -43.253174 -43.893934
    Unten rechts KachelX + 1 24895 KachelY + 1 41679 -0.75481442 -0.76609367 -43.247681 -43.893934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76602458--0.76609367) × R
    6.90899999999939e-05 × 6371000     		dl = 440.172389999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76602458--0.76609367) × R
    6.90899999999939e-05 × 6371000     		dr = 440.172389999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75491030--0.75481442) × cos(-0.76602458) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720672419362118 × 6371000     		do = 440.223813962752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75491030--0.75481442) × cos(-0.76609367) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720624519220628 × 6371000     		du = 440.19455409043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76602458)-sin(-0.76609367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720672419362118-0.720624519220628)×R²
    abs(-0.75481442--0.75491030)×4.79001414902536e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79001414902536e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79001414902536e-05×40589641000000     		ar = 193767.928709985m²