Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24890 / 41639
↖ ↑ ↗
← S 43.735383°
W 43.275146°		 ← 441.32 m → S 43.735383°
W 43.269654°		 →
↑
441.32 m
↓
↑
441.32 m
↓
S 43.739352°
W 43.275146°		 ← 441.29 m →
194 756 m²		 S 43.739352°
W 43.269654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379798889160156 y=0.635368347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379798889160156 × 216)
    floor (0.379798889160156 × 65536)
    floor (24890.5)     		tx = 24890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635368347167969 × 216)
    floor (0.635368347167969 × 65536)
    floor (41639.5)     		ty = 41639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24890 / 41639 ti = "16/24890/41639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24890/41639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24890 ÷ 216
    24890 ÷ 65536     		x = 0.379791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41639 ÷ 216
    41639 ÷ 65536     		y = 0.635360717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.24041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75529379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635360717773438 × 2 - 1) × π
    -0.270721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.850496473059036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75529379} λ = -0.75529379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850496473059036))-π/2
    2×atan(0.427202784617059)-π/2
    2×0.403734945367543-π/2
    0.807469890735086-1.57079632675     		φ = -0.76332644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75529379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.275146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76332644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.735383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24890 KachelY 41639 -0.75529379 -0.76332644 -43.275146 -43.735383
    Oben rechts KachelX + 1 24891 KachelY 41639 -0.75519792 -0.76332644 -43.269654 -43.735383
    Unten links KachelX 24890 KachelY + 1 41640 -0.75529379 -0.76339571 -43.275146 -43.739352
    Unten rechts KachelX + 1 24891 KachelY + 1 41640 -0.75519792 -0.76339571 -43.269654 -43.739352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76332644--0.76339571) × R
    6.92699999998991e-05 × 6371000     		dl = 441.319169999357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76332644--0.76339571) × R
    6.92699999998991e-05 × 6371000     		dr = 441.319169999357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75529379--0.75519792) × cos(-0.76332644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722540348890173 × 6371000     		do = 441.318808433641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75529379--0.75519792) × cos(-0.76339571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722492458814021 × 6371000     		du = 441.289557760823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76332644)-sin(-0.76339571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722540348890173-0.722492458814021)×R²
    abs(-0.75519792--0.75529379)×4.78900761515799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78900761515799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78900761515799e-05×40589641000000     		ar = 194755.995879511m²