Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24888 / 41638
↖ ↑ ↗
← S 43.731414°
W 43.286133°		 ← 441.39 m → S 43.731414°
W 43.280639°		 →
↑
441.38 m
↓
↑
441.38 m
↓
S 43.735383°
W 43.286133°		 ← 441.36 m →
194 817 m²		 S 43.735383°
W 43.280639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379768371582031 y=0.635353088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379768371582031 × 216)
    floor (0.379768371582031 × 65536)
    floor (24888.5)     		tx = 24888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635353088378906 × 216)
    floor (0.635353088378906 × 65536)
    floor (41638.5)     		ty = 41638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24888 / 41638 ti = "16/24888/41638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24888/41638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24888 ÷ 216
    24888 ÷ 65536     		x = 0.3797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41638 ÷ 216
    41638 ÷ 65536     		y = 0.635345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.27069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.850400599259796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75548554} λ = -0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850400599259796))-π/2
    2×atan(0.427243744134507)-π/2
    2×0.403769582859701-π/2
    0.807539165719402-1.57079632675     		φ = -0.76325716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76325716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.731414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24888 KachelY 41638 -0.75548554 -0.76325716 -43.286133 -43.731414
    Oben rechts KachelX + 1 24889 KachelY 41638 -0.75538966 -0.76325716 -43.280639 -43.731414
    Unten links KachelX 24888 KachelY + 1 41639 -0.75548554 -0.76332644 -43.286133 -43.735383
    Unten rechts KachelX + 1 24889 KachelY + 1 41639 -0.75538966 -0.76332644 -43.280639 -43.735383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76325716--0.76332644) × R
    6.92800000000604e-05 × 6371000     		dl = 441.382880000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76325716--0.76332644) × R
    6.92800000000604e-05 × 6371000     		dr = 441.382880000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75548554--0.75538966) × cos(-0.76325716) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.722588242412122 × 6371000     		do = 441.394097308265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75548554--0.75538966) × cos(-0.76332644) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.722540348890173 × 6371000     		du = 441.3648414795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76325716)-sin(-0.76332644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722588242412122-0.722540348890173)×R²
    abs(-0.75538966--0.75548554)×4.78935219494492e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78935219494492e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78935219494492e-05×40589641000000     		ar = 194817.341451719m²