Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24888 / 29192
↖ ↑ ↗
← N 19.269666°
W 43.286133°		 ← 576.63 m → N 19.269666°
W 43.280639°		 →
↑
576.64 m
↓
↑
576.64 m
↓
N 19.264480°
W 43.286133°		 ← 576.65 m →
332 512 m²		 N 19.264480°
W 43.280639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379768371582031 y=0.445442199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379768371582031 × 216)
    floor (0.379768371582031 × 65536)
    floor (24888.5)     		tx = 24888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445442199707031 × 216)
    floor (0.445442199707031 × 65536)
    floor (29192.5)     		ty = 29192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24888 / 29192 ti = "16/24888/29192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24888/29192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24888 ÷ 216
    24888 ÷ 65536     		x = 0.3797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29192 ÷ 216
    29192 ÷ 65536     		y = 0.4454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    0.109130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.342844706082642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75548554} λ = -0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342844706082642))-π/2
    2×atan(1.40894994358021)-π/2
    2×0.953557715983451-π/2
    1.9071154319669-1.57079632675     		φ = 0.33631911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33631911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.269666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24888 KachelY 29192 -0.75548554 0.33631911 -43.286133 19.269666
    Oben rechts KachelX + 1 24889 KachelY 29192 -0.75538966 0.33631911 -43.280639 19.269666
    Unten links KachelX 24888 KachelY + 1 29193 -0.75548554 0.33622860 -43.286133 19.264480
    Unten rechts KachelX + 1 24889 KachelY + 1 29193 -0.75538966 0.33622860 -43.280639 19.264480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33631911-0.33622860) × R
    9.05099999999881e-05 × 6371000     		dl = 576.639209999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33631911-0.33622860) × R
    9.05099999999881e-05 × 6371000     		dr = 576.639209999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75548554--0.75538966) × cos(0.33631911) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943975805397719 × 6371000     		do = 576.629017811678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75548554--0.75538966) × cos(0.33622860) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944005671158414 × 6371000     		du = 576.6472613558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33631911)-sin(0.33622860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943975805397719-0.944005671158414)×R²
    abs(-0.75538966--0.75548554)×2.98657606950803e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.98657606950803e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.98657606950803e-05×40589641000000     		ar = 332512.161492296m²