Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24888 / 25182
↖ ↑ ↗
← S 69.029279°
E 93.427735°		 ← 437.21 m → S 69.029279°
E 93.438721°		 →
↑
437.18 m
↓
↑
437.18 m
↓
S 69.033211°
E 93.427735°		 ← 437.14 m →
191 123 m²		 S 69.033211°
E 93.438721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759536743164062 y=0.768508911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759536743164062 × 215)
    floor (0.759536743164062 × 32768)
    floor (24888.5)     		tx = 24888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768508911132812 × 215)
    floor (0.768508911132812 × 32768)
    floor (25182.5)     		ty = 25182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24888 / 25182 ti = "15/24888/25182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24888/25182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24888 ÷ 215
    24888 ÷ 32768     		x = 0.759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25182 ÷ 215
    25182 ÷ 32768     		y = 0.76849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    0.51904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63062158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.5369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68699537142902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63062158} λ = 1.63062158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68699537142902))-π/2
    2×atan(0.185074770363517)-π/2
    2×0.183004061299626-π/2
    0.366008122599252-1.57079632675     		φ = -1.20478820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63062158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.427735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20478820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.029279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24888 KachelY 25182 1.63062158 -1.20478820 93.427735 -69.029279
    Oben rechts KachelX + 1 24889 KachelY 25182 1.63081333 -1.20478820 93.438721 -69.029279
    Unten links KachelX 24888 KachelY + 1 25183 1.63062158 -1.20485682 93.427735 -69.033211
    Unten rechts KachelX + 1 24889 KachelY + 1 25183 1.63081333 -1.20485682 93.438721 -69.033211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20478820--1.20485682) × R
    6.86199999999637e-05 × 6371000     		dl = 437.178019999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20478820--1.20485682) × R
    6.86199999999637e-05 × 6371000     		dr = 437.178019999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63062158-1.63081333) × cos(-1.20478820) × R
    0.000191750000000157 × 0.357890828123504 × 6371000     		do = 437.213482851035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63062158-1.63081333) × cos(-1.20485682) × R
    0.000191750000000157 × 0.357826752433948 × 6371000     		du = 437.135205473702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20478820)-sin(-1.20485682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357890828123504-0.357826752433948)×R²
    abs(1.63081333-1.63062158)×6.40756895560757e-05×R²
    0.000191750000000157×6.40756895560757e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.40756895560757e-05×40589641000000     		ar = 191123.014250089m²