Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24888 / 25179
↖ ↑ ↗
← S 69.017480°
E 93.427735°		 ← 437.45 m → S 69.017480°
E 93.438721°		 →
↑
437.43 m
↓
↑
437.43 m
↓
S 69.021414°
E 93.427735°		 ← 437.37 m →
191 337 m²		 S 69.021414°
E 93.438721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759536743164062 y=0.768417358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759536743164062 × 215)
    floor (0.759536743164062 × 32768)
    floor (24888.5)     		tx = 24888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768417358398438 × 215)
    floor (0.768417358398438 × 32768)
    floor (25179.5)     		ty = 25179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24888 / 25179 ti = "15/24888/25179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24888/25179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24888 ÷ 215
    24888 ÷ 32768     		x = 0.759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25179 ÷ 215
    25179 ÷ 32768     		y = 0.768402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    0.51904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63062158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768402099609375 × 2 - 1) × π
    -0.53680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68642012863358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63062158} λ = 1.63062158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68642012863358))-π/2
    2×atan(0.185181263918675)-π/2
    2×0.18310702600878-π/2
    0.366214052017559-1.57079632675     		φ = -1.20458227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63062158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.427735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20458227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.017480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24888 KachelY 25179 1.63062158 -1.20458227 93.427735 -69.017480
    Oben rechts KachelX + 1 24889 KachelY 25179 1.63081333 -1.20458227 93.438721 -69.017480
    Unten links KachelX 24888 KachelY + 1 25180 1.63062158 -1.20465093 93.427735 -69.021414
    Unten rechts KachelX + 1 24889 KachelY + 1 25180 1.63081333 -1.20465093 93.438721 -69.021414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20458227--1.20465093) × R
    6.86599999999427e-05 × 6371000     		dl = 437.432859999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20458227--1.20465093) × R
    6.86599999999427e-05 × 6371000     		dr = 437.432859999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63062158-1.63081333) × cos(-1.20458227) × R
    0.000191750000000157 × 0.358083110438034 × 6371000     		do = 437.448382473545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63062158-1.63081333) × cos(-1.20465093) × R
    0.000191750000000157 × 0.358019002458138 × 6371000     		du = 437.370065649066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20458227)-sin(-1.20465093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358083110438034-0.358019002458138)×R²
    abs(1.63081333-1.63062158)×6.41079798964217e-05×R²
    0.000191750000000157×6.41079798964217e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.41079798964217e-05×40589641000000     		ar = 191337.167946608m²