Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24885 / 40286
↖ ↑ ↗
← S 38.125915°
W 43.302612°		 ← 480.48 m → S 38.125915°
W 43.297119°		 →
↑
480.50 m
↓
↑
480.50 m
↓
S 38.130236°
W 43.302612°		 ← 480.45 m →
230 864 m²		 S 38.130236°
W 43.297119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379722595214844 y=0.614723205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379722595214844 × 216)
    floor (0.379722595214844 × 65536)
    floor (24885.5)     		tx = 24885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614723205566406 × 216)
    floor (0.614723205566406 × 65536)
    floor (40286.5)     		ty = 40286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24885 / 40286 ti = "16/24885/40286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24885/40286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24885 ÷ 216
    24885 ÷ 65536     		x = 0.379714965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40286 ÷ 216
    40286 ÷ 65536     		y = 0.614715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379714965820312 × 2 - 1) × π
    -0.240570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75577316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.22943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.720779222687164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75577316} λ = -0.75577316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720779222687164))-π/2
    2×atan(0.486373115295787)-π/2
    2×0.452686793098282-π/2
    0.905373586196564-1.57079632675     		φ = -0.66542274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75577316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.302612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66542274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.125915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24885 KachelY 40286 -0.75577316 -0.66542274 -43.302612 -38.125915
    Oben rechts KachelX + 1 24886 KachelY 40286 -0.75567729 -0.66542274 -43.297119 -38.125915
    Unten links KachelX 24885 KachelY + 1 40287 -0.75577316 -0.66549816 -43.302612 -38.130236
    Unten rechts KachelX + 1 24886 KachelY + 1 40287 -0.75567729 -0.66549816 -43.297119 -38.130236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66542274--0.66549816) × R
    7.54199999999372e-05 × 6371000     		dl = 480.5008199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66542274--0.66549816) × R
    7.54199999999372e-05 × 6371000     		dr = 480.5008199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75577316--0.75567729) × cos(-0.66542274) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.786655859243832 × 6371000     		do = 480.47977802552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75577316--0.75567729) × cos(-0.66549816) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.786609293321618 × 6371000     		du = 480.451336129733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66542274)-sin(-0.66549816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786655859243832-0.786609293321618)×R²
    abs(-0.75567729--0.75577316)×4.65659222135262e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.65659222135262e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.65659222135262e-05×40589641000000     		ar = 230864.094266559m²