Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24885 / 25184
↖ ↑ ↗
← S 69.037142°
E 93.394775°		 ← 437.06 m → S 69.037142°
E 93.405762°		 →
↑
436.99 m
↓
↑
436.99 m
↓
S 69.041072°
E 93.394775°		 ← 436.98 m →
190 971 m²		 S 69.041072°
E 93.405762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759445190429688 y=0.768569946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759445190429688 × 215)
    floor (0.759445190429688 × 32768)
    floor (24885.5)     		tx = 24885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768569946289062 × 215)
    floor (0.768569946289062 × 32768)
    floor (25184.5)     		ty = 25184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24885 / 25184 ti = "15/24885/25184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24885/25184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24885 ÷ 215
    24885 ÷ 32768     		x = 0.759429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25184 ÷ 215
    25184 ÷ 32768     		y = 0.7685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759429931640625 × 2 - 1) × π
    0.51885986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63004633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    -0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63004633} λ = 1.63004633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68737886662598))-π/2
    2×atan(0.185003808685605)-π/2
    2×0.182935448879356-π/2
    0.365870897758712-1.57079632675     		φ = -1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63004633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.394775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24885 KachelY 25184 1.63004633 -1.20492543 93.394775 -69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 24886 KachelY 25184 1.63023808 -1.20492543 93.405762 -69.037142
    Unten links KachelX 24885 KachelY + 1 25185 1.63004633 -1.20499402 93.394775 -69.041072
    Unten rechts KachelX + 1 24886 KachelY + 1 25185 1.63023808 -1.20499402 93.405762 -69.041072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20492543--1.20499402) × R
    6.8589999999924e-05 × 6371000     		dl = 436.986889999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20492543--1.20499402) × R
    6.8589999999924e-05 × 6371000     		dr = 436.986889999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63004633-1.63023808) × cos(-1.20492543) × R
    0.000191749999999935 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 437.056937445344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63004633-1.63023808) × cos(-1.20499402) × R
    0.000191749999999935 × 0.35769863335392 × 6371000     		du = 436.97869017636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20492543)-sin(-1.20499402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.35769863335392)×R²
    abs(1.63023808-1.63004633)×6.40510436971109e-05×R²
    0.000191749999999935×6.40510436971109e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.40510436971109e-05×40589641000000     		ar = 190971.055407157m²