Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24884 / 8492
↖ ↑ ↗
← N 65.164579°
E 93.383789°		 ← 513.08 m → N 65.164579°
E 93.394775°		 →
↑
513.18 m
↓
↑
513.18 m
↓
N 65.159964°
E 93.383789°		 ← 513.17 m →
263 326 m²		 N 65.159964°
E 93.394775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759414672851562 y=0.259170532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759414672851562 × 215)
    floor (0.759414672851562 × 32768)
    floor (24884.5)     		tx = 24884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259170532226562 × 215)
    floor (0.259170532226562 × 32768)
    floor (8492.5)     		ty = 8492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24884 / 8492 ti = "15/24884/8492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24884/8492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24884 ÷ 215
    24884 ÷ 32768     		x = 0.7593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8492 ÷ 215
    8492 ÷ 32768     		y = 0.2591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7593994140625 × 2 - 1) × π
    0.518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62985459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2591552734375 × 2 - 1) × π
    0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62985459} λ = 1.62985459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51327204720593))-π/2
    2×atan(4.54156672986605)-π/2
    2×1.35406639198922-π/2
    2.70813278397843-1.57079632675     		φ = 1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62985459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24884 KachelY 8492 1.62985459 1.13733646 93.383789 65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 24885 KachelY 8492 1.63004633 1.13733646 93.394775 65.164579
    Unten links KachelX 24884 KachelY + 1 8493 1.62985459 1.13725591 93.383789 65.159964
    Unten rechts KachelX + 1 24885 KachelY + 1 8493 1.63004633 1.13725591 93.394775 65.159964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13733646-1.13725591) × R
    8.05500000000681e-05 × 6371000     		dl = 513.184050000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13733646-1.13725591) × R
    8.05500000000681e-05 × 6371000     		dr = 513.184050000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62985459-1.63004633) × cos(1.13733646) × R
    0.000191739999999996 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 513.077853379577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62985459-1.63004633) × cos(1.13725591) × R
    0.000191739999999996 × 0.420086300670952 × 6371000     		du = 513.167149588709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13733646)-sin(1.13725591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.420086300670952)×R²
    abs(1.63004633-1.62985459)×7.3099211803096e-05×R²
    0.000191739999999996×7.3099211803096e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.3099211803096e-05×40589641000000     		ar = 263326.283600857m²