Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24884 / 25177
↖ ↑ ↗
← S 69.009611°
E 93.383789°		 ← 437.58 m → S 69.009611°
E 93.394775°		 →
↑
437.56 m
↓
↑
437.56 m
↓
S 69.013546°
E 93.383789°		 ← 437.50 m →
191 451 m²		 S 69.013546°
E 93.394775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759414672851562 y=0.768356323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759414672851562 × 215)
    floor (0.759414672851562 × 32768)
    floor (24884.5)     		tx = 24884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768356323242188 × 215)
    floor (0.768356323242188 × 32768)
    floor (25177.5)     		ty = 25177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24884 / 25177 ti = "15/24884/25177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24884/25177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24884 ÷ 215
    24884 ÷ 32768     		x = 0.7593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25177 ÷ 215
    25177 ÷ 32768     		y = 0.768341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7593994140625 × 2 - 1) × π
    0.518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62985459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.53668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68603663343662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62985459} λ = 1.62985459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68603663343662))-π/2
    2×atan(0.185252293662867)-π/2
    2×0.18317569987833-π/2
    0.36635139975666-1.57079632675     		φ = -1.20444493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62985459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20444493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.009611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24884 KachelY 25177 1.62985459 -1.20444493 93.383789 -69.009611
    Oben rechts KachelX + 1 24885 KachelY 25177 1.63004633 -1.20444493 93.394775 -69.009611
    Unten links KachelX 24884 KachelY + 1 25178 1.62985459 -1.20451361 93.383789 -69.013546
    Unten rechts KachelX + 1 24885 KachelY + 1 25178 1.63004633 -1.20451361 93.394775 -69.013546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20444493--1.20451361) × R
    6.86800000000432e-05 × 6371000     		dl = 437.560280000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20444493--1.20451361) × R
    6.86800000000432e-05 × 6371000     		dr = 437.560280000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62985459-1.63004633) × cos(-1.20444493) × R
    0.000191739999999996 × 0.358211340006114 × 6371000     		do = 437.582211102083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62985459-1.63004633) × cos(-1.20451361) × R
    0.000191739999999996 × 0.358147216729857 × 6371000     		du = 437.503879676262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20444493)-sin(-1.20451361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358211340006114-0.358147216729857)×R²
    abs(1.63004633-1.62985459)×6.41232762572663e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41232762572663e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41232762572663e-05×40589641000000     		ar = 191451.457528517m²