Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24881 / 41614
↖ ↑ ↗
← S 43.636075°
W 43.324585°		 ← 442.05 m → S 43.636075°
W 43.319092°		 →
↑
442.08 m
↓
↑
442.08 m
↓
S 43.640051°
W 43.324585°		 ← 442.02 m →
195 417 m²		 S 43.640051°
W 43.319092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379661560058594 y=0.634986877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379661560058594 × 216)
    floor (0.379661560058594 × 65536)
    floor (24881.5)     		tx = 24881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634986877441406 × 216)
    floor (0.634986877441406 × 65536)
    floor (41614.5)     		ty = 41614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24881 / 41614 ti = "16/24881/41614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24881/41614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24881 ÷ 216
    24881 ÷ 65536     		x = 0.379653930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41614 ÷ 216
    41614 ÷ 65536     		y = 0.634979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379653930664062 × 2 - 1) × π
    -0.240692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75615665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634979248046875 × 2 - 1) × π
    -0.26995849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.848099628078033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75615665} λ = -0.75615665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848099628078033))-π/2
    2×atan(0.428227951559572)-π/2
    2×0.40460157134657-π/2
    0.809203142693139-1.57079632675     		φ = -0.76159318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75615665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.324585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76159318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.636075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24881 KachelY 41614 -0.75615665 -0.76159318 -43.324585 -43.636075
    Oben rechts KachelX + 1 24882 KachelY 41614 -0.75606078 -0.76159318 -43.319092 -43.636075
    Unten links KachelX 24881 KachelY + 1 41615 -0.75615665 -0.76166257 -43.324585 -43.640051
    Unten rechts KachelX + 1 24882 KachelY + 1 41615 -0.75606078 -0.76166257 -43.319092 -43.640051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76159318--0.76166257) × R
    6.9390000000058e-05 × 6371000     		dl = 442.08369000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76159318--0.76166257) × R
    6.9390000000058e-05 × 6371000     		dr = 442.08369000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75615665--0.75606078) × cos(-0.76159318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723737515439954 × 6371000     		do = 442.0500231209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75615665--0.75606078) × cos(-0.76166257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723689629368059 × 6371000     		du = 442.020774893833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76159318)-sin(-0.76166257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723737515439954-0.723689629368059)×R²
    abs(-0.75606078--0.75615665)×4.7886071895098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7886071895098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7886071895098e-05×40589641000000     		ar = 195416.640382544m²