Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24878 / 42158
↖ ↑ ↗
← S 45.759859°
W 43.341065°		 ← 426.17 m → S 45.759859°
W 43.335571°		 →
↑
426.09 m
↓
↑
426.09 m
↓
S 45.763691°
W 43.341065°		 ← 426.14 m →
181 582 m²		 S 45.763691°
W 43.335571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379615783691406 y=0.643287658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379615783691406 × 216)
    floor (0.379615783691406 × 65536)
    floor (24878.5)     		tx = 24878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643287658691406 × 216)
    floor (0.643287658691406 × 65536)
    floor (42158.5)     		ty = 42158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24878 / 42158 ti = "16/24878/42158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24878/42158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24878 ÷ 216
    24878 ÷ 65536     		x = 0.379608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42158 ÷ 216
    42158 ÷ 65536     		y = 0.643280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.24078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75644428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.28656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900254974864655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75644428} λ = -0.75644428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900254974864655))-π/2
    2×atan(0.406466007911501)-π/2
    2×0.386068063731217-π/2
    0.772136127462434-1.57079632675     		φ = -0.79866020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75644428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.341065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79866020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.759859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24878 KachelY 42158 -0.75644428 -0.79866020 -43.341065 -45.759859
    Oben rechts KachelX + 1 24879 KachelY 42158 -0.75634840 -0.79866020 -43.335571 -45.759859
    Unten links KachelX 24878 KachelY + 1 42159 -0.75644428 -0.79872708 -43.341065 -45.763691
    Unten rechts KachelX + 1 24879 KachelY + 1 42159 -0.75634840 -0.79872708 -43.335571 -45.763691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79866020--0.79872708) × R
    6.68799999999914e-05 × 6371000     		dl = 426.092479999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79866020--0.79872708) × R
    6.68799999999914e-05 × 6371000     		dr = 426.092479999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75644428--0.75634840) × cos(-0.79866020) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.697667197433723 × 6371000     		do = 426.171040099562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75644428--0.75634840) × cos(-0.79872708) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.69761928157011 × 6371000     		du = 426.141770623359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79866020)-sin(-0.79872708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697667197433723-0.69761928157011)×R²
    abs(-0.75634840--0.75644428)×4.79158636126353e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79158636126353e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79158636126353e-05×40589641000000     		ar = 181582.039696015m²