Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24877 / 8484
↖ ↑ ↗
← N 65.201468°
E 93.306885°		 ← 512.39 m → N 65.201468°
E 93.317871°		 →
↑
512.42 m
↓
↑
512.42 m
↓
N 65.196860°
E 93.306885°		 ← 512.48 m →
262 582 m²		 N 65.196860°
E 93.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759201049804688 y=0.258926391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759201049804688 × 215)
    floor (0.759201049804688 × 32768)
    floor (24877.5)     		tx = 24877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258926391601562 × 215)
    floor (0.258926391601562 × 32768)
    floor (8484.5)     		ty = 8484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24877 / 8484 ti = "15/24877/8484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24877/8484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24877 ÷ 215
    24877 ÷ 32768     		x = 0.759185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8484 ÷ 215
    8484 ÷ 32768     		y = 0.2589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759185791015625 × 2 - 1) × π
    0.51837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62851235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2589111328125 × 2 - 1) × π
    0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62851235} λ = 1.62851235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51480602799377))-π/2
    2×atan(4.54853875208327)-π/2
    2×1.35438831393155-π/2
    2.7087766278631-1.57079632675     		φ = 1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62851235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.306885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24877 KachelY 8484 1.62851235 1.13798030 93.306885 65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 24878 KachelY 8484 1.62870410 1.13798030 93.317871 65.201468
    Unten links KachelX 24877 KachelY + 1 8485 1.62851235 1.13789987 93.306885 65.196860
    Unten rechts KachelX + 1 24878 KachelY + 1 8485 1.62870410 1.13789987 93.317871 65.196860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13798030-1.13789987) × R
    8.04299999999092e-05 × 6371000     		dl = 512.419529999421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13798030-1.13789987) × R
    8.04299999999092e-05 × 6371000     		dr = 512.419529999421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62851235-1.62870410) × cos(1.13798030) × R
    0.000191749999999935 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 512.390706722817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62851235-1.62870410) × cos(1.13789987) × R
    0.000191749999999935 × 0.41950183011027 × 6371000     		du = 512.479901109365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13798030)-sin(1.13789987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.41950183011027)×R²
    abs(1.62870410-1.62851235)×7.30120504459641e-05×R²
    0.000191749999999935×7.30120504459641e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.30120504459641e-05×40589641000000     		ar = 262581.857729359m²