Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24877 / 41698
↖ ↑ ↗
← S 43.969098°
W 43.346558°		 ← 439.59 m → S 43.969098°
W 43.341065°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
S 43.973051°
W 43.346558°		 ← 439.56 m →
193 238 m²		 S 43.973051°
W 43.341065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379600524902344 y=0.636268615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379600524902344 × 216)
    floor (0.379600524902344 × 65536)
    floor (24877.5)     		tx = 24877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636268615722656 × 216)
    floor (0.636268615722656 × 65536)
    floor (41698.5)     		ty = 41698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24877 / 41698 ti = "16/24877/41698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24877/41698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24877 ÷ 216
    24877 ÷ 65536     		x = 0.379592895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41698 ÷ 216
    41698 ÷ 65536     		y = 0.636260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379592895507812 × 2 - 1) × π
    -0.240814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75654015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.27252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.856153027214203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75654015} λ = -0.75654015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856153027214203))-π/2
    2×atan(0.424793110581586)-π/2
    2×0.401695397191054-π/2
    0.803390794382109-1.57079632675     		φ = -0.76740553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75654015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.346558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76740553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.969098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24877 KachelY 41698 -0.75654015 -0.76740553 -43.346558 -43.969098
    Oben rechts KachelX + 1 24878 KachelY 41698 -0.75644428 -0.76740553 -43.341065 -43.969098
    Unten links KachelX 24877 KachelY + 1 41699 -0.75654015 -0.76747453 -43.346558 -43.973051
    Unten rechts KachelX + 1 24878 KachelY + 1 41699 -0.75644428 -0.76747453 -43.341065 -43.973051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76740553--0.76747453) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dl = 439.598999999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76740553--0.76747453) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dr = 439.598999999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75654015--0.75644428) × cos(-0.76740553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719714353351712 × 6371000     		do = 439.592724920675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75654015--0.75644428) × cos(-0.76747453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		du = 439.56346429947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76740553)-sin(-0.76747453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719714353351712-0.719666446987764)×R²
    abs(-0.75644428--0.75654015)×4.79063639478028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79063639478028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79063639478028e-05×40589641000000     		ar = 193238.090889106m²