Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24876 / 8524
↖ ↑ ↗
← N 65.016506°
E 93.295899°		 ← 515.94 m → N 65.016506°
E 93.306885°		 →
↑
515.99 m
↓
↑
515.99 m
↓
N 65.011866°
E 93.295899°		 ← 516.03 m →
266 242 m²		 N 65.011866°
E 93.306885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759170532226562 y=0.260147094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759170532226562 × 215)
    floor (0.759170532226562 × 32768)
    floor (24876.5)     		tx = 24876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260147094726562 × 215)
    floor (0.260147094726562 × 32768)
    floor (8524.5)     		ty = 8524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24876 / 8524 ti = "15/24876/8524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24876/8524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24876 ÷ 215
    24876 ÷ 32768     		x = 0.7591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8524 ÷ 215
    8524 ÷ 32768     		y = 0.2601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7591552734375 × 2 - 1) × π
    0.518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.62832061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2601318359375 × 2 - 1) × π
    0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62832061} λ = 1.62832061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50713612405457))-π/2
    2×atan(4.51378534480966)-π/2
    2×1.35277421467008-π/2
    2.70554842934016-1.57079632675     		φ = 1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62832061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.295899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24876 KachelY 8524 1.62832061 1.13475210 93.295899 65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 24877 KachelY 8524 1.62851235 1.13475210 93.306885 65.016506
    Unten links KachelX 24876 KachelY + 1 8525 1.62832061 1.13467111 93.295899 65.011866
    Unten rechts KachelX + 1 24877 KachelY + 1 8525 1.62851235 1.13467111 93.306885 65.011866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13475210-1.13467111) × R
    8.09900000000585e-05 × 6371000     		dl = 515.987290000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13475210-1.13467111) × R
    8.09900000000585e-05 × 6371000     		dr = 515.987290000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62832061-1.62851235) × cos(1.13475210) × R
    0.000191739999999996 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 515.941162896664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62832061-1.62851235) × cos(1.13467111) × R
    0.000191739999999996 × 0.422430559777172 × 6371000     		du = 516.03083917229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13475210)-sin(1.13467111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422430559777172)×R²
    abs(1.62851235-1.62832061)×7.3410339917479e-05×R²
    0.000191739999999996×7.3410339917479e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.3410339917479e-05×40589641000000     		ar = 266242.218497463m²