Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24876 / 41692
↖ ↑ ↗
← S 43.945372°
W 43.352051°		 ← 439.77 m → S 43.945372°
W 43.346558°		 →
↑
439.79 m
↓
↑
439.79 m
↓
S 43.949328°
W 43.352051°		 ← 439.74 m →
193 399 m²		 S 43.949328°
W 43.346558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379585266113281 y=0.636177062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379585266113281 × 216)
    floor (0.379585266113281 × 65536)
    floor (24876.5)     		tx = 24876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636177062988281 × 216)
    floor (0.636177062988281 × 65536)
    floor (41692.5)     		ty = 41692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24876 / 41692 ti = "16/24876/41692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24876/41692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24876 ÷ 216
    24876 ÷ 65536     		x = 0.37957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41692 ÷ 216
    41692 ÷ 65536     		y = 0.63616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.2408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75663602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63616943359375 × 2 - 1) × π
    -0.2723388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.855577784418762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75663602} λ = -0.75663602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855577784418762))-π/2
    2×atan(0.425037540054407)-π/2
    2×0.401902443774686-π/2
    0.803804887549372-1.57079632675     		φ = -0.76699144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75663602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.352051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76699144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.945372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24876 KachelY 41692 -0.75663602 -0.76699144 -43.352051 -43.945372
    Oben rechts KachelX + 1 24877 KachelY 41692 -0.75654015 -0.76699144 -43.346558 -43.945372
    Unten links KachelX 24876 KachelY + 1 41693 -0.75663602 -0.76706047 -43.352051 -43.949328
    Unten rechts KachelX + 1 24877 KachelY + 1 41693 -0.75654015 -0.76706047 -43.346558 -43.949328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76699144--0.76706047) × R
    6.90300000000255e-05 × 6371000     		dl = 439.790130000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76699144--0.76706047) × R
    6.90300000000255e-05 × 6371000     		dr = 439.790130000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75663602--0.75654015) × cos(-0.76699144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720001782027159 × 6371000     		do = 439.768282840385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75663602--0.75654015) × cos(-0.76706047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719953875409806 × 6371000     		du = 439.739022064403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76699144)-sin(-0.76706047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720001782027159-0.719953875409806)×R²
    abs(-0.75654015--0.75663602)×4.79066173530995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79066173530995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79066173530995e-05×40589641000000     		ar = 193399.316056903m²