Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24875 / 29159
↖ ↑ ↗
← N 19.440695°
W 43.357544°		 ← 576.02 m → N 19.440695°
W 43.352051°		 →
↑
576 m
↓
↑
576 m
↓
N 19.435515°
W 43.357544°		 ← 576.04 m →
331 797 m²		 N 19.435515°
W 43.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379570007324219 y=0.444938659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379570007324219 × 216)
    floor (0.379570007324219 × 65536)
    floor (24875.5)     		tx = 24875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444938659667969 × 216)
    floor (0.444938659667969 × 65536)
    floor (29159.5)     		ty = 29159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24875 / 29159 ti = "16/24875/29159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24875/29159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24875 ÷ 216
    24875 ÷ 65536     		x = 0.379562377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29159 ÷ 216
    29159 ÷ 65536     		y = 0.444931030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379562377929688 × 2 - 1) × π
    -0.240875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75673190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444931030273438 × 2 - 1) × π
    0.110137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.346008541457565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75673190} λ = -0.75673190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346008541457565))-π/2
    2×atan(1.4134146883877)-π/2
    2×0.955050226481167-π/2
    1.91010045296233-1.57079632675     		φ = 0.33930413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75673190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.357544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33930413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.440695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24875 KachelY 29159 -0.75673190 0.33930413 -43.357544 19.440695
    Oben rechts KachelX + 1 24876 KachelY 29159 -0.75663602 0.33930413 -43.352051 19.440695
    Unten links KachelX 24875 KachelY + 1 29160 -0.75673190 0.33921372 -43.357544 19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 24876 KachelY + 1 29160 -0.75663602 0.33921372 -43.352051 19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33930413-0.33921372) × R
    9.04099999999852e-05 × 6371000     		dl = 576.002109999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33930413-0.33921372) × R
    9.04099999999852e-05 × 6371000     		dr = 576.002109999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75673190--0.75663602) × cos(0.33930413) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.942986500915005 × 6371000     		do = 576.024699704241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75673190--0.75663602) × cos(0.33921372) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 576.043078633761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33930413)-sin(0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942986500915005-0.943016588309602)×R²
    abs(-0.75663602--0.75673190)×3.00873945972002e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.00873945972002e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.00873945972002e-05×40589641000000     		ar = 331796.735818746m²