Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 24870 / 57010
↖ ↑ ↗
← N 22.791375°
W111.692505°		 ← 281.58 m → N 22.791375°
W111.689758°		 →
↑
281.60 m
↓
↑
281.60 m
↓
N 22.788843°
W111.692505°		 ← 281.58 m →
79 293 m²		 N 22.788843°
W111.689758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189746856689453 y=0.434955596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189746856689453 × 217)
    floor (0.189746856689453 × 131072)
    floor (24870.5)     		tx = 24870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434955596923828 × 217)
    floor (0.434955596923828 × 131072)
    floor (57010.5)     		ty = 57010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24870 / 57010 ti = "17/24870/57010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24870/57010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24870 ÷ 217
    24870 ÷ 131072     		x = 0.189743041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57010 ÷ 217
    57010 ÷ 131072     		y = 0.434951782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.189743041992188 × 2 - 1) × π
    -0.620513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.94940196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434951782226562 × 2 - 1) × π
    0.130096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.408710006160599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94940196} λ = -1.94940196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408710006160599))-π/2
    2×atan(1.50487525264979)-π/2
    2×0.984290432096162-π/2
    1.96858086419232-1.57079632675     		φ = 0.39778454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94940196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.692505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39778454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.791375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24870 KachelY 57010 -1.94940196 0.39778454 -111.692505 22.791375
    Oben rechts KachelX + 1 24871 KachelY 57010 -1.94935402 0.39778454 -111.689758 22.791375
    Unten links KachelX 24870 KachelY + 1 57011 -1.94940196 0.39774034 -111.692505 22.788843
    Unten rechts KachelX + 1 24871 KachelY + 1 57011 -1.94935402 0.39774034 -111.689758 22.788843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39778454-0.39774034) × R
    4.41999999999942e-05 × 6371000     		dl = 281.598199999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39778454-0.39774034) × R
    4.41999999999942e-05 × 6371000     		dr = 281.598199999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94940196--1.94935402) × cos(0.39778454) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.921921473653897 × 6371000     		do = 281.578548313752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94940196--1.94935402) × cos(0.39774034) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.921938594808541 × 6371000     		du = 281.583777555078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39778454)-sin(0.39774034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921921473653897-0.921938594808541)×R²
    abs(-1.94935402--1.94940196)×1.71211546442507e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71211546442507e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71211546442507e-05×40589641000000     		ar = 79292.7486492035m²