Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24867 / 42150
↖ ↑ ↗
← S 45.729191°
W 43.401489°		 ← 426.41 m → S 45.729191°
W 43.395996°		 →
↑
426.35 m
↓
↑
426.35 m
↓
S 45.733025°
W 43.401489°		 ← 426.38 m →
181 790 m²		 S 45.733025°
W 43.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379447937011719 y=0.643165588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379447937011719 × 216)
    floor (0.379447937011719 × 65536)
    floor (24867.5)     		tx = 24867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643165588378906 × 216)
    floor (0.643165588378906 × 65536)
    floor (42150.5)     		ty = 42150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24867 / 42150 ti = "16/24867/42150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24867/42150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24867 ÷ 216
    24867 ÷ 65536     		x = 0.379440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42150 ÷ 216
    42150 ÷ 65536     		y = 0.643157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379440307617188 × 2 - 1) × π
    -0.241119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75749889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.28631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.899487984470734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75749889} λ = -0.75749889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899487984470734))-π/2
    2×atan(0.406777883022343)-π/2
    2×0.3863356892598-π/2
    0.772671378519599-1.57079632675     		φ = -0.79812495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75749889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.401489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79812495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.729191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24867 KachelY 42150 -0.75749889 -0.79812495 -43.401489 -45.729191
    Oben rechts KachelX + 1 24868 KachelY 42150 -0.75740301 -0.79812495 -43.395996 -45.729191
    Unten links KachelX 24867 KachelY + 1 42151 -0.75749889 -0.79819187 -43.401489 -45.733025
    Unten rechts KachelX + 1 24868 KachelY + 1 42151 -0.75740301 -0.79819187 -43.395996 -45.733025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79812495--0.79819187) × R
    6.69199999999703e-05 × 6371000     		dl = 426.347319999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79812495--0.79819187) × R
    6.69199999999703e-05 × 6371000     		dr = 426.347319999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75749889--0.75740301) × cos(-0.79812495) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.698050562352512 × 6371000     		do = 426.405219128078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75749889--0.75740301) × cos(-0.79819187) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.698002642825853 × 6371000     		du = 426.375947414298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79812495)-sin(-0.79819187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698050562352512-0.698002642825853)×R²
    abs(-0.75740301--0.75749889)×4.79195266589461e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79195266589461e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79195266589461e-05×40589641000000     		ar = 181790.482518879m²