Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24866 / 8469
↖ ↑ ↗
← N 65.270498°
E 93.186035°		 ← 511.05 m → N 65.270498°
E 93.197022°		 →
↑
511.08 m
↓
↑
511.08 m
↓
N 65.265901°
E 93.186035°		 ← 511.14 m →
261 213 m²		 N 65.265901°
E 93.197022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758865356445312 y=0.258468627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758865356445312 × 215)
    floor (0.758865356445312 × 32768)
    floor (24866.5)     		tx = 24866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258468627929688 × 215)
    floor (0.258468627929688 × 32768)
    floor (8469.5)     		ty = 8469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24866 / 8469 ti = "15/24866/8469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24866/8469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24866 ÷ 215
    24866 ÷ 32768     		x = 0.75885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8469 ÷ 215
    8469 ÷ 32768     		y = 0.258453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75885009765625 × 2 - 1) × π
    0.5177001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62640313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258453369140625 × 2 - 1) × π
    0.48309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51768224197098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62640313} λ = 1.62640313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51768224197098))-π/2
    2×atan(4.56164015500508)-π/2
    2×1.35499071052968-π/2
    2.70998142105936-1.57079632675     		φ = 1.13918509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62640313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13918509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.270498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24866 KachelY 8469 1.62640313 1.13918509 93.186035 65.270498
    Oben rechts KachelX + 1 24867 KachelY 8469 1.62659488 1.13918509 93.197022 65.270498
    Unten links KachelX 24866 KachelY + 1 8470 1.62640313 1.13910487 93.186035 65.265901
    Unten rechts KachelX + 1 24867 KachelY + 1 8470 1.62659488 1.13910487 93.197022 65.265901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13918509-1.13910487) × R
    8.02200000000752e-05 × 6371000     		dl = 511.081620000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13918509-1.13910487) × R
    8.02200000000752e-05 × 6371000     		dr = 511.081620000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62640313-1.62659488) × cos(1.13918509) × R
    0.000191750000000157 × 0.418334819741006 × 6371000     		do = 511.054235437707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62640313-1.62659488) × cos(1.13910487) × R
    0.000191750000000157 × 0.418407681650722 × 6371000     		du = 511.143246406445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13918509)-sin(1.13910487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418334819741006-0.418407681650722)×R²
    abs(1.62659488-1.62640313)×7.28619097151717e-05×R²
    0.000191750000000157×7.28619097151717e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.28619097151717e-05×40589641000000     		ar = 261213.172630682m²